latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem05.28.tex

   1 \begin{problem*}{5.28}
   2 An object of mass $m_1=5.00\U{kg}$ placed on a frictionless,
   3 horizontal table is connected to a string that passes over a pulley
   4 and then is fastened to a hanging object of mass $m_2=9.00\U{kg}$ as
   5 shown in Figure~P5.28.  \Part{a} Draw free-body diagrams of both
   6 objects.  Find \Part{b} the magnitude of that acceleration of the
   7 objects and \Part{c} the tension in the string.
   8 \begin{center}
   9 \begin{asy}
  10 import Mechanics;
  11
  12 real u = 1cm;
  13
  14 real a = u;       // block side length
  15 real pr = a/4;    // pulley radius
  16 real psw = 0.2u;  // pulley support width
  17 real d = 2u;      // rope length
  18
  19 Surface s = Surface((-.7a, 0), (d-2.5pr, 0));
  20 Block m1 = Block((0, a/2), width=a, height=a, "$m_1$");
  21 Block m2 = Block(m1.center + (d,-d), width=a, height=a, "$m_2$");
  22
  23 pair ropecross = extension(m1.center, m1.center+E,
  24                            m2.center, m2.center+N);
  25 pair pulley = ropecross + (-pr, -pr/Tan(90/2));
  26
  27 // pulley support
  28 draw(pulley -- (pulley + 1.3(s.pTo-pulley)), psw+currentpen);
  29
  30 draw(m1.center -- (pulley.x, m1.center.y));
  31 draw(m2.center -- (m2.center.x, pulley.y));
  32
  33 filldraw(shift(pulley)*scale(pr)*unitcircle, fillpen=white);
  34
  35 s.draw();
  36 m1.draw();
  37 m2.draw();
  38 \end{asy}
  39 \end{center}
  40 \end{problem*}
  41
  42 \begin{solution}
  43 \Part{a}
  44 \begin{center}
  45 \begin{asy}
  46 import Mechanics;
  47
  48 real u = 1cm;
  49 real m1 = 5;
  50 real m2 = 9;
  51 real g = 0.2u;
  52 real t = (m1*m2*g)/(m1 + m2);
  53
  54 Vector T = Force((0,0), mag=t, dir=0, "$T$");
  55 T.draw();
  56 Vector G = Force((0,0), mag=m1*g, dir=-90, "$F_g$");
  57 G.draw();
  58 Vector norm = Force((0,0), mag=m1*g, dir=90, "$N$");
  59 norm.draw();
  60 dot("$m_1$", (0,0), W);
  61 \end{asy}
  62 \hspace{1cm}
  63 \begin{asy}
  64 import Mechanics;
  65
  66 real u = 1cm;
  67 real m1 = 5;
  68 real m2 = 9;
  69 real g = 0.2u;
  70 real t = (m1*m2*g)/(m1 + m2);
  71
  72 Vector T = Force((0,0), mag=t, dir=90, "$T$");
  73 T.draw();
  74 Vector G = Force((0,0), mag=m2*g, dir=-90, "$F_g$");
  75 G.draw();
  76 dot("$m_2$", (0,0), E);
  77 \end{asy}
  78 \end{center}
  79
  80 \Part{b}
  81 Because the rope does not stretch, both objects have the same
  82 magnitude of acceleration.  Using $F=ma$ on both objects, we can solve
  83 for $a$.
  84 \begin{align}
  85   T &= m_1 a \\
  86   m_2 g - T &= m_2 a \\
  87   m_2 g - m_1 a &= m_2 a \\
  88   m_2 g &= (m_1 + m_2) a \\
  89   a &= \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}
  90     = \frac{9.00\U{kg}\cdot9.80\U{m/s$^2$}}{5.00\U{kg} + 9.00\U{kg}}
  91     = \ans{6.30\U{m/s$^2$}}
  92 \end{align}
  93
  94 \Part{c}
  95 Plugging the solution for $a$ back into either of the $F=ma$
  96 equations,
  97 \begin{equation}
  98   T = m_1 a
  99     = \frac{m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}
 100     = \frac{5.00\U{kg}\cdot9.00\U{kg}\cdot9.80\U{m/s$^2$}}
 101            {5.00\U{kg} + 9.00\U{kg}}
 102     = \ans{32.1\U{N}}
 103 \end{equation}
 104 \end{solution}