posts/FRC.mdwn_itex

   1 [[!meta  title="Freely rotating chains"]]
   2
   3 [[Velocity clamp force spectroscopy|Force_spectroscopy]] pulls are
   4 [often fit to polymer models][carrionvazquez99] such as the worm-like
   5 chain (WLC).  However, [Puchner et al.][puchner08] had the bright idea
   6 that, rather than fitting each loading region with a polymer model, it
   7 is easier to calculate the change in contour length by converting the
   8 abscissa to contour-length space.  While the WLC is commonly used,
   9 Puchner gets better fits using the freely rotating chain (FRC) model.
  10
  11 Computing force-extension curves for either the WLC or FJC is
  12 complicated, and it is common to use interpolation formulas to
  13 estimate the curves.  For the WLC, we use [Bustamante's
  14 formula][bustamante94]:
  15
  16 \[
  17   F_WLC(x) = \frac{k_B T}{p} \left[
  18     \frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(1-\frac{x}{L}\right)^2} - 1\right)
  19     + \frac{x}{L} \right]
  20 \]
  21
  22 For the FRC, Puchner uses [Livadaru][livadaru03]'s equation 46.
  23
  24 \[
  25   \frac{R_z}{L} \approx
  26     \begin{cases}
  27       \frac{fa}{3k_B T} & \text{for } \frac{fb}{k_B T} \lt \frac{b}{l} \\
  28       1-\left(\frac{fl}{4k_B T}\right)^{-\frac{1}{2}}
  29         & \text{for } \frac{b}{l} \lt \frac{fb}{k_B T} \lt \frac{l}{b} \\
  30       1-\left(\frac{fb}{ck_B T}\right)^{-1}
  31         & \text{for } \frac{l}{b} \lt \frac{fb}{k_B T}
  32     \end{cases}\;.
  33 \]
  34
  35 Unfortunately, there are two typos in Livadaru's equation 46.  It
  36 should read (confirmed by private communication with Roland Netz).
  37
  38 \[
  39   \frac{R_z}{L} \approx
  40     \begin{cases}
  41       \frac{fa}{3k_B T} & \text{for } \frac{fb}{k_B T} \lt \frac{b}{l} \\
  42       1-\left(\frac{4fl}{k_B T}\right)^{-\frac{1}{2}}
  43         & \text{for } \frac{b}{l} \lt \frac{fb}{k_B T} \lt \frac{l}{b} \\
  44       1-\left(\frac{cfb}{k_B T}\right)^{-1}
  45         & \text{for } \frac{l}{b} \lt \frac{fb}{k_B T}
  46     \end{cases}\;.
  47 \]
  48
  49 Regardless of the form of Livadaru's equation 46, the suggested FRC
  50 interpolation formula is Livadaru's equation 49, which has continuous
  51 cross-overs between the various regimes and adds the possibility of
  52 elastic backbone extension.
  53
  54 \[
  55   \frac{R_z}{L} = 1 - \left\{
  56     \left(F_\text{WLC}^{-1}\left[\frac{fl}{k_BT}\right]\right)^\beta
  57     + \left(\frac{cfb}{k_BT}\right)^\beta\right\}^{\frac{-1}{\beta}}
  58     + \frac{f}{\tilde{\gamma}} \;,
  59 \]
  60
  61 where $l=b\frac{\cos(\gamma/2)}{|\ln(\cos\gamma)|}$ (Livadaru's
  62 equation 22) is the effective persistence length, $\beta$ determines
  63 the crossover sharpness, $\tilde{\gamma}$ is the backbone stretching
  64 modulus, and $F_\text{WLC}^{-1}[x]$ is related to the inverse of
  65 Bustamante's interpolation formula,
  66
  67 \[
  68   F_\text{WLC}[x] = \frac{3}{4} - \frac{1}{x} + \frac{x^2}{4} \;.
  69 \]
  70
  71 By matching their interpolation formula with simlated FRCs, Livadaru
  72 suggests using $\beta=2$, $\tilde{\gamma}=\infty$, and $c=2$.  In his
  73 paper, Puchner suggests using $b=0.4$ nm and $\gamma=22^{\circ}$.
  74 However, when I contacted him and pointed out the typos in Livadaru's
  75 equation 46, he reran his analysis and got similar results using the
  76 corrected formula with $b=0.11$ nm and $\gamma=41^{\circ}$.  This
  77 makes more sense because it gives a WLC persistence length similar to
  78 the one he used when fitting the WLC model:
  79
  80 \[
  81   l = b\frac{\cos(\gamma/2)}{|\ln(\cos\gamma)|} = 0.366\text{ nm}
  82 \]
  83
  84 (vs. his WLC persistence length of $p=0.4$ nm).
  85
  86 In any event, the two models (WLC and FRC) give similar results for
  87 low to moderate forces, with the differences kicking in as $fb/k_B T$
  88 moves above $l/b$.  For Puchner's revised numbers, this corresponds to
  89
  90 \[
  91   f \gt \frac{l}{b} \cdot \frac{k_B T}{b}
  92     = \frac{\cos(\gamma/2)}{|\ln(\cos\gamma)|} \cdot \frac{k_B T}{b}
  93     \approx 122 \text{ pN} \;,
  94 \]
  95
  96 assuming a temperature in the range of 300 K.
  97
  98 I've written an `inverse_frc` implementation in
  99 [[crunch.py|Comparing_velocity_clamp_experiments/crunch.py]] for
 100 [[comparing velocity clamp experiments]].  I test the implementation
 101 with [[frc.py|Comparing_velocity_clamp_experiments/frc.py]] by
 102 regenerating [Livadaru et al.'s figure 14][livadaru03].
 103
 104 [[!img Comparing_velocity_clamp_experiments/figure-14.png
 105   alt="Inverse FRC test matching Livadaru et al.'s figure 14"
 106   title="Inverse FRC test matching Livadaru et al.'s figure 14"]]
 107
 108
 109 [carrionvazquez99]: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.96.20.11288
 110 [puchner08]: http://dx.doi.org/10.1529/biophysj.108.129999
 111 [bustamante94]: http://dx.doi.org/10.1126/science.8079175
 112 [livadaru03]: http://dx.doi.org/10.1021/ma020751g
 113
 114 [[!tag tags/theory]]