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   1 PHYS 305 - Assignment #5
   2 Due: Monday, February 18, 2013
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   4 Make sure your name is listed as a comment at the beginning of all
   5 your work.  Please make sure that every graph and chart you turn in is
   6 well-labeled with axes and a title.
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   8 Purpose: Develop a physical intuition about Chaotic scattering.
   9 Complete all exercises on chaotic scattering in the course web page
  10 (reproduced below):
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  12 Chaotic Scattering
  13 ==================
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  15 Use the program we wrote in class to solve this scattering
  16 problem. Use a scaled mass m = 1.0.  Use a time step parameter dt =
  17 0.01.  Check that the code compute each trajectory until the distance
  18 of the particle from the origin exceeds a distance of 4.1 in scaled
  19 units.  Choose v₀ = 0.15, k = 1.0, b = 0.25, and compute the
  20 trajectory (y(t) versus x(t)) for y₀ = 0.0 and y₀ = 0.2.  Use x₀ =
  21 -3.9.  Plot the two trajectories.  Plot E(t) as a check.  Use the code
  22 potential.c as a guide to compute the latter.  Check the of the
  23 scattering angle θ and the scattering time T.
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  25 * Compute the trajectories for y₀ = 0, …, 0.8 in 1000 equal
  26   increments.  Plot separately the scattering angle and the scattering
  27   time for these trajectories versus y₀.  You should find that, for
  28   some ranges in y₀, both θ and T vary smoothly with y₀.  However, you
  29   should also find certain irregular regions where both quantities
  30   change greatly from one trajectory to the next.  This sensitive
  31   dependence of the outcome on small changes in the initial conditions
  32   is the hallmark of chaos.  The behavior of the system in the
  33   irregular regions is known as chaotic scattering.
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  35 * Choose one of the irregular regions in the previous question and
  36   “zoom in” on it by successively narrowing the range in y₀ and
  37   covering the new range in the same number (1000) of steps.  Do you
  38   see regular regions within the chaotic band? Continue to zoom in on
  39   the new chaotic regions until you have decreased the range of y₀ by
  40   a factor of 1000 below that used initially.  You should find
  41   self-similar structure–the same pattern of regularity and
  42   irregularity keeps recurring on smaller and smaller scales.
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  44 * Identify some of the impact parameter y₀ values that yield the
  45   longest scattering times and plot the corresponding trajectories.
  46   You may want to draw small circles centered on the three repellor
  47   positions to guide the eyes.  See for instance: draw circles.c.
  48   Better yet is to draw the interception of a plane at the appropriate
  49   energy E with the potential surface.  See for instance: potential
  50   contour.c
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  52 * Can you identify any critical trajectories that seem to separate
  53   regular from irregular motion?
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  55 Energy Dependence
  56 =================
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  58 The scattering functions, scattering angle and escape time, in reality
  59 depend on both the impact parameter and the energy of the incoming
  60 particle.
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  62 Form two color images (1024x1024) of the scattering angle and escape
  63 time, having the incoming kinetic energy (vertical axis) and the
  64 impact parameter (horizontal axis) as labels.  Use an impact parameter
  65 range b = 0.0, …, 0.8 and an energy range corresponding to 0.1 to 1.2
  66 the hill height.  Write a small feeder code setup scatter.c to
  67 generate initial conditions evenly distributed within these
  68 ranges. These are to be fed in the differential equation solver code.