src/calibcant/overview.tex

   1 The most common method for calibrating cantilevers for atomic force
   2 microscopes is via thermal vibration\citep{florin95}.  In this
   3 chapter, I'll derive the theory behind this procedure and introduce
   4 my \calibcant\ package for performing this calibration automatically.
   5
   6 We know the energy of the cantilever's thermal vibration from the
   7 equipartion theorem (\cref{eq:equipart,sec:cantilever-calib:intro}).
   8 Solving the equipartition theorem for the spring contant $\kappa$
   9 yields
  10 \begin{equation}
  11   \kappa = \frac{k_BT}{\avg{x^2}} \;, \label{eq:equipart_k}
  12 \end{equation}
  13 so we need to measure (or estimate) the temperature $T$ and variance
  14 of the cantilever position $\avg{x^2}$ in order to estimate $\kappa$.
  15
  16 We don't measure $x$ directly, though.  We reflect a laser off the
  17 back of the cantilever and measure the position of the deflected beam
  18 with a photodiode (\cref{fig:afm-schematic}).  In order to convert the
  19 photodiode signal $V_p$\index{$V_p$} to a tip displacement $x$, we
  20 scale $V_p$ by a linear photodiode sensitivity
  21 $\sigma_p$\index{$\sigma_p$}.
  22 \begin{equation}
  23   x(t) = \frac{V_p(t)}{\sigma_p} \;. \label{eq:x-from-Vp}
  24 \end{equation}
  25 We measure $\sigma_p$ by pushing the tip against the substrate surface
  26 and measuring the slope (deflection volts per piezo meter) of the
  27 resulting contact-deflection trace (\cref{sec:calibcant:bump}).  By
  28 keeping $V_p$ and $\sigma_p$ separate in our calculation of $\kappa$,
  29 we can gauge the relative importance errors in each parameter and
  30 calculate the uncertainty in our estimated $\kappa$
  31 (\cref{sec:calibcant:discussion:errors}).
  32 %
  33 \nomenclature{$V_p$}{The vertical photodiode deflection voltage
  34   (\cref{fig:afm-schematic,eq:x-from-Vp}).}
  35 \nomenclature{$\sigma_p$}{The linear photodiode sensitivity to
  36   cantilever displacement (\cref{fig:afm-schematic,eq:x-from-Vp}).}
  37
  38 In order to filter out noise in the measured value of $\avg{V_p^2}$ we
  39 fit the measured cantilever deflection to the expected theoretical
  40 power spectral density ($\PSD_f$\index{PSD@\PSD!in frequency space})
  41 of a damped harmonic oscillator exposed to thermal noise
  42 \begin{equation}
  43   \PSD_f(V_p, f) = \frac{G_{1f}}{(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2} \;.
  44   \label{eq:psd-Vp}
  45 \end{equation}
  46 In terms of the fit parameters $G_{1f}$\index{$G_{1f}$},
  47 $f_0$\index{$f_0$}, and $\beta_f$\index{$\beta_f$}, the expectation
  48 value for $V_p^2$ is given by
  49 \begin{equation}
  50   \avg{V_p(t)^2} = \frac{\pi G_{1f}}{2\beta_f f_0^2} \;.
  51   \label{eq:avg-Vp-Gone-f}
  52 \end{equation}
  53 %
  54 \nomenclature[PSDf]{$\PSD_f$}{Power spectral density in
  55   frequency space
  56   \begin{equation}
  57     \PSD_f(g, f) \equiv \normLimT 2 \magSq{ \Fourf{g(t)}(f) }
  58   \end{equation}}
  59 \nomenclature{$f$}{Frequency (hertz)}
  60 \nomenclature{$f_0$}{Resonant frequency (hertz)}
  61 \nomenclature{$\pi$}{Archmides' constant, $\pi=3.14159\ldots$.  The
  62   ratio of a circle's circumference to its diameter.}
  63
  64 Combining \cref{eq:equipart_k,eq:x-from-Vp,eq:avg-Vp-Gone-f}, we
  65 have
  66 \begin{align}
  67   \kappa &= \frac{\sigma_p^2 k_BT}{\avg{V_p(t)^2}}
  68     = \frac{2 \beta_f f_0^2 \sigma_p^2 k_BT}{\pi G_{1f}} \;.
  69   \label{eq:kappa}
  70 \end{align}
  71 A calibration run consists of bumping the surface with the cantilever
  72 tip to measure $\sigma_p$ (\cref{sec:calibcant:bump}), measuring the
  73 buffer temperature $T$ with a thermocouple
  74 (\cref{sec:calibcant:temperature}), and measuring thermal vibration
  75 when the tip is far from the surface to extract the fit parameters
  76 $G_{1f}$, $f_0$, and $\beta_f$ (\cref{sec:calibcant:vibration}).
  77
  78 \section{Related work}
  79 \label{sec:calibcant:survey}
  80
  81 In reality, the cantilever motion is more complicated than a pure
  82 simple harmonic oscillator.  Various corrections taking into acount
  83 higher order vibrational modes\citep{butt95,stark01} and cantilever
  84 tilt\citep{hutter05} have been proposed and
  85 reviewed\citep{florin95,levy02,ohler07}, but we will focus here on the
  86 derivation of noise in damped simple harmonic oscillators that
  87 underlies all frequency-space methods for improving the basic
  88 $\kappa\avg{x^2} = k_BT$ method.
  89
  90 \citet{roters96} derive the \PSD\ with a similar Fourier transform,
  91 but they use the fluctuation--dissipation theorem to extract the \PSD\
  92 from the susceptibility (see
  93 their \fref{equation}{4}).  \citet{benedetti12} has independently
  94 developed a Parseval's approach similar to mine (in
  95 his \fref{section}{8.2.1}), although he glosses over some of the
  96 integrals.  \citet{berg-sorensen04} has an extensive treatment of the
  97 extremely overdamped case and laser tweezer calibration, which they
  98 revisit a year later during a discussion of noise
  99 color\citep{berg-sorensen05}.  \citet{gittes98} derive some related
 100 results in the extremely overdamped case, such the fact that the
 101 signal to thermal noise ratio is independent of trap stiffness
 102 $\kappa$.  Despite this earlier work, I think it is worth explicitly
 103 deriving the \PSD\ of a damped harmonic oscillator here, as I have
 104 been unable to find a reference that I feel treats the problem with
 105 sufficient rigor.  An explicit derivation may also help clear up the
 106 confusion about the proper \PSD\ form discussed in the next section.
 107
 108 \section{Fitting with a Lorentzian}
 109 \label{sec:calibcant:lorentzian}
 110
 111 It is popular to refer to the thermal power spectral density as a
 112 ``Lorentzian''\citep{howard88,hutter93,roters96,levy02,florin95}, but
 113 there is dissagreement on what this means.  The classic Lorentzian
 114 function is\citep{mathworld-lorentzian}
 115 \begin{equation}
 116   L(x) = \frac{1}{\pi}\frac{\frac{1}{2}\Gamma}
 117                            {(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2} \;,
 118   \label{eq:lorentzian}
 119 \end{equation}
 120 where $x_0$ sets the center and $\Gamma$ sets the width of the curve.
 121 However, the correct \PSD\ for a damped harmonic oscillator in a white
 122 noise bath is given by \cref{eq:psd-Vp}\citep{burnham03,benedetti12}.
 123
 124 These formulas are fundamentally different.
 125
 126 For example, the slope of \cref{eq:psd-Vp} is zero at $f=0$, as we can
 127 see by using the chain rule repeatedly,
 128 \begin{align}
 129   \deriv{f}{\PSD_f}
 130     &= \deriv{f}{}\p({\frac{G_{1f}}{(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2}})
 131     = \frac{-G_{1f}}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 132       \deriv{f}{}\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2}) \\
 133     &= \frac{-G_{1f}}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 134       \p({2(f_0^2-f^2)\deriv{f}{}(f_0^2 - f^2) + 2\beta_f^2 f}) \\
 135     &= \frac{-G_{1f}}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 136       \p({-4f(f_0^2-f^2) + 2\beta_f^2 f}) \\
 137     &= \frac{2G_{1f}f}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 138       \p({2(f_0^2-f^2) - \beta_f^2})
 139     \label{eq:model-psd-df} \\
 140   \left.\deriv{f}{\PSD_f}\right|_{f=0} &= 0 \;.
 141     \label{eq:model-psd-df-zero}
 142 \end{align}
 143 On the other hand, the slope of \cref{eq:lorentzian} is only zero at
 144 the peak (where $x=x_0$).
 145 \begin{align}
 146   \deriv{x}{L(x)}
 147     &= \frac{1}{\pi}\frac{\frac{-1}{2}\Gamma}
 148                          {\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2})^2}
 149          \cdot \deriv{x}{}\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2}) \\
 150     &= \frac{1}{\pi}\frac{\frac{-1}{2}\Gamma}
 151                          {\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2})^2}
 152          \cdot 2 (x-x_0) \\
 153     &= \frac{1}{\pi}\frac{-\Gamma (x-x_0)}
 154                          {\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2})^2}
 155   \label{eq:lorentzian-dx}
 156 \end{align}
 157
 158 It is unclear whether the ``Lorentzian'' references are due to
 159 uncertainty about the definition of the Lorentzian or to the fact that
 160 the two equations have similar behavior near the
 161 peak.  \citet{florin95} likely \emph{are} using \cref{eq:lorentzian},
 162 as the slope of the fitted \PSD\ in their \fref{figure}{2}, has a
 163 slope at $f=0$.  If they were using \cref{eq:psd-Vp}, the derivative
 164 would have been zero (\cref{eq:model-psd-df-zero}).
 165
 166 We have at least two models in use, one likely the ``Lorentzian''
 167 (\cref{eq:lorentzian}) and one that's not.  Perhaps researchers
 168 claiming to use the ``Lorentzian'' are consistently
 169 using \cref{eq:lorentzian}?  There are at least two
 170 counterexamples---\citet{roters96,benedetti12}---with solid
 171 derivations of
 172 \cref{eq:DHO-psd} which they then refer to as the ``Lorentzian''.
 173 Which formula are the remaining ``Lorentzian'' fitters using?  What
 174 about groups that only reference their method as ``thermal
 175 calibration'' without specifying a \PSD\ model?  In order to avoid any
 176 uncertainty, we leave \cref{eq:psd-Vp} unnamed.  I encourage future
 177 researchers to explicitly list the model they use, ideally by citing
 178 their associated open source calibration package.