src/calibcant/overview.tex

   1 The most common method for calibrating cantilevers for atomic force
   2 microscopes is via thermal vibration\citep{florin95}.  In this
   3 chapter, I'll derive the theory behind this procedure and introduce
   4 my \calibcant\ package for performing this calibration automatically.
   5
   6 We know the energy of the cantilever's thermal vibration from the
   7 equipartion theorem (\cref{eq:equipart,sec:cantilever-calib:intro}).
   8 Solving the equipartition theorem for the spring contant $\kappa$
   9 yields
  10 \begin{equation}
  11   \kappa = \frac{k_BT}{\avg{x^2}} \;, \label{eq:equipart_k}
  12 \end{equation}
  13 so we need to measure (or estimate) the temperature $T$ and variance
  14 of the cantilever position $\avg{x^2}$ in order to estimate $\kappa$.
  15
  16 We don't measure $x$ directly, though.  We reflect a laser off the
  17 back of the cantilever and measure the position of the deflected beam
  18 with a photodiode (\cref{fig:afm-schematic}).  In order to convert the
  19 photodiode signal $V_p$\index{$V_p$} to a tip displacement $x$, we
  20 scale $V_p$ by a linear photodiode sensitivity
  21 $\sigma_p$\index{$\sigma_p$}.
  22 \begin{equation}
  23   x(t) = \frac{V_p(t)}{\sigma_p} \;. \label{eq:x-from-Vp}
  24 \end{equation}
  25 We measure $\sigma_p$ by pushing the tip against the substrate surface
  26 and measuring the slope (deflection volts per piezo meter) of the
  27 resulting contact-deflection trace (\cref{sec:calibcant:bump}).  By
  28 keeping $V_p$ and $\sigma_p$ separate in our calculation of $\kappa$,
  29 we can gauge the relative importance errors in each parameter and
  30 calculate the uncertainty in our estimated $\kappa$
  31 (\cref{sec:calibcant:discussion:errors}).
  32 %
  33 \nomenclature{$V_p$}{The vertical photodiode deflection voltage
  34   (\cref{fig:afm-schematic,eq:x-from-Vp}).}
  35 \nomenclature{$\sigma_p$}{The linear photodiode sensitivity to
  36   cantilever displacement (\cref{fig:afm-schematic,eq:x-from-Vp}).}
  37
  38 In order to filter out noise in the measured value of $\avg{V_p^2}$ we
  39 fit the measured cantilever deflection to the expected theoretical
  40 power spectral density ($\PSD_f$\index{PSD@\PSD!in frequency space})
  41 of a damped harmonic oscillator exposed to thermal noise
  42 \begin{equation}
  43   \PSD_f(V_p, f) = \frac{G_{1f}}{(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2} \;.
  44   \label{eq:psd-Vp}
  45 \end{equation}
  46 In terms of the fit parameters $G_{1f}$\index{$G_{1f}$},
  47 $f_0$\index{$f_0$}, and $\beta_f$\index{$\beta_f$}, the expectation
  48 value for $V_p^2$ is given by
  49 \begin{equation}
  50   \avg{V_p(t)^2} = \frac{\pi G_{1f}}{2\beta_f f_0^2} \;.
  51   \label{eq:avg-Vp-Gone-f}
  52 \end{equation}
  53 %
  54 \nomenclature[PSDf]{$\PSD_f$}{Power spectral density in
  55   frequency space
  56   \begin{equation}
  57     \PSD_f(g, f) \equiv \normLimT 2 \magSq{ \Fourf{g(t)}(f) }
  58   \end{equation}}
  59 \nomenclature{$f$}{Frequency (hertz)}
  60 \nomenclature{$f_0$}{Resonant frequency (hertz)}
  61 \nomenclature{$\pi$}{Archmides' constant, $\pi=3.14159\ldots$.  The
  62   ratio of a circle's circumference to its diameter.}
  63
  64 Combining \cref{eq:equipart_k,eq:x-from-Vp,eq:avg-Vp-Gone-f}, we
  65 have
  66 \begin{align}
  67   \kappa &= \frac{\sigma_p^2 k_BT}{\avg{V_p(t)^2}}
  68     = \frac{2 \beta_f f_0^2 \sigma_p^2 k_BT}{\pi G_{1f}} \;.
  69   \label{eq:kappa}
  70 \end{align}
  71 A calibration run consists of bumping the surface with the cantilever
  72 tip to measure $\sigma_p$ (\cref{sec:calibcant:bump}), measuring the
  73 buffer temperature $T$ with a thermocouple
  74 (\cref{sec:calibcant:temperature}), and measuring thermal vibration
  75 when the tip is far from the surface to extract the fit parameters
  76 $G_{1f}$, $f_0$, and $\beta_f$ (\cref{sec:calibcant:vibration}).
  77
  78 Although this theory should be well established
  79 (\cref{sec:calibcant:survey}), there is continued confusion about the
  80 details of the fitting (\cref{sec:calibcant:lorentzian}).  To avoid
  81 further ambiguity, I'll derive the power spectral density mentioned
  82 above (\cref{eq:psd-Vp,eq:avg-Vp-Gone-f})
  83 in \cref{sec:calibcant:theory}.  In \cref{calibcant/procedure}, I'll
  84 introduce my \calibcant\ package for automatically calibrating
  85 cantilevers.  I'll clear up a few remaining points
  86 in \cref{sec:calibcant:discussion} before wrapping up
  87 with \cref{sec:calibcant:conclusions}.
  88
  89 \section{Related work}
  90 \label{sec:calibcant:survey}
  91
  92 In reality, the cantilever motion is more complicated than a pure
  93 simple harmonic oscillator.  Various corrections taking into acount
  94 higher order vibrational modes\citep{butt95,stark01} and cantilever
  95 tilt\citep{hutter05} have been proposed and
  96 reviewed\citep{florin95,levy02,ohler07}, but we will focus here on the
  97 derivation of noise in damped simple harmonic oscillators that
  98 underlies all frequency-space methods for improving the basic
  99 $\kappa\avg{x^2} = k_BT$ method.
 100
 101 \citet{roters96} derive the \PSD\ with a similar Fourier transform,
 102 but they use the fluctuation--dissipation theorem to extract the \PSD\
 103 from the susceptibility (see
 104 their \fref{equation}{4}).  \citet{benedetti12} has independently
 105 developed a Parseval's approach similar to mine (in
 106 his \fref{section}{8.2.1}), although he glosses over some of the
 107 integrals.  \citet{berg-sorensen04} has an extensive treatment of the
 108 extremely overdamped case and laser tweezer calibration, which they
 109 revisit a year later during a discussion of noise
 110 color\citep{berg-sorensen05}.  \citet{gittes98} derive some related
 111 results in the extremely overdamped case, such the fact that the
 112 signal to thermal noise ratio is independent of trap stiffness
 113 $\kappa$.  Despite this earlier work, I think it is worth explicitly
 114 deriving the \PSD\ of a damped harmonic oscillator here, as I have
 115 been unable to find a reference that I feel treats the problem with
 116 sufficient rigor.  An explicit derivation may also help clear up the
 117 confusion about the proper \PSD\ form discussed in the next section.
 118
 119 \section{Fitting with a Lorentzian}
 120 \label{sec:calibcant:lorentzian}
 121
 122 It is popular to refer to the thermal power spectral density as a
 123 ``Lorentzian''\citep{howard88,hutter93,roters96,levy02,florin95}, but
 124 there is dissagreement on what this means.  The classic Lorentzian
 125 function is\citep{mathworld-lorentzian}
 126 \begin{equation}
 127   L(x) = \frac{1}{\pi}\frac{\frac{1}{2}\Gamma}
 128                            {(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2} \;,
 129   \label{eq:lorentzian}
 130 \end{equation}
 131 where $x_0$ sets the center and $\Gamma$ sets the width of the curve.
 132 However, the correct \PSD\ for a damped harmonic oscillator in a white
 133 noise bath is given by \cref{eq:psd-Vp}\citep{burnham03,benedetti12}.
 134
 135 These formulas are fundamentally different.
 136
 137 For example, the slope of \cref{eq:psd-Vp} is zero at $f=0$, as we can
 138 see by using the chain rule repeatedly,
 139 \begin{align}
 140   \deriv{f}{\PSD_f}
 141     &= \deriv{f}{}\p({\frac{G_{1f}}{(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2}})
 142     = \frac{-G_{1f}}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 143       \deriv{f}{}\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2}) \\
 144     &= \frac{-G_{1f}}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 145       \p({2(f_0^2-f^2)\deriv{f}{}(f_0^2 - f^2) + 2\beta_f^2 f}) \\
 146     &= \frac{-G_{1f}}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 147       \p({-4f(f_0^2-f^2) + 2\beta_f^2 f}) \\
 148     &= \frac{2G_{1f}f}{\p({(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2})^2}
 149       \p({2(f_0^2-f^2) - \beta_f^2})
 150     \label{eq:model-psd-df} \\
 151   \left.\deriv{f}{\PSD_f}\right|_{f=0} &= 0 \;.
 152     \label{eq:model-psd-df-zero}
 153 \end{align}
 154 On the other hand, the slope of \cref{eq:lorentzian} is only zero at
 155 the peak (where $x=x_0$).
 156 \begin{align}
 157   \deriv{x}{L(x)}
 158     &= \frac{1}{\pi}\frac{\frac{-1}{2}\Gamma}
 159                          {\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2})^2}
 160          \cdot \deriv{x}{}\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2}) \\
 161     &= \frac{1}{\pi}\frac{\frac{-1}{2}\Gamma}
 162                          {\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2})^2}
 163          \cdot 2 (x-x_0) \\
 164     &= \frac{1}{\pi}\frac{-\Gamma (x-x_0)}
 165                          {\p({(x-x_0)^2 + \p({\frac{1}{2}\Gamma})^2})^2}
 166   \label{eq:lorentzian-dx}
 167 \end{align}
 168
 169 It is unclear whether the ``Lorentzian'' references are due to
 170 uncertainty about the definition of the Lorentzian or to the fact that
 171 the two equations have similar behavior near the
 172 peak.  \citet{florin95} likely \emph{are} using \cref{eq:lorentzian},
 173 as the slope of the fitted \PSD\ in their \fref{figure}{2}, has a
 174 slope at $f=0$.  If they were using \cref{eq:psd-Vp}, the derivative
 175 would have been zero (\cref{eq:model-psd-df-zero}).
 176
 177 We have at least two models in use, one likely the ``Lorentzian''
 178 (\cref{eq:lorentzian}) and one that's not.  Perhaps researchers
 179 claiming to use the ``Lorentzian'' are consistently
 180 using \cref{eq:lorentzian}?  There are at least two
 181 counterexamples---\citet{roters96,benedetti12}---with solid
 182 derivations of
 183 \cref{eq:DHO-psd} which they then refer to as the ``Lorentzian''.
 184 Which formula are the remaining ``Lorentzian'' fitters using?  What
 185 about groups that only reference their method as ``thermal
 186 calibration'' without specifying a \PSD\ model?  In order to avoid any
 187 uncertainty, we leave \cref{eq:psd-Vp} unnamed.  I encourage future
 188 researchers to explicitly list the model they use, ideally by citing
 189 their associated open source calibration package.