src/calibcant/discussion.tex

   1 \section{Discussion}
   2 \label{sec:calibcant:discussion}
   3
   4 \subsection{Peak frequency}
   5 \label{sec:calibcant:peak-frequency}
   6
   7 Since we went through the trouble of calculating the derivative of
   8 $\PSD_f$ in \cref{eq:model-psd-df}, it's useful to also calculate the
   9 frequency of the resonant peak.
  10 \begin{align}
  11   0 &= \deriv{f}{\PSD_f}
  12     = \frac{2G_{1f}f_\text{max}}
  13            {\p({(f_0^2-f_\text{max}^2)^2 + \beta_f^2 f_\text{max}^2})^2}
  14       \p({2(f_0^2-f_\text{max}^2) - \beta_f^2}) \\
  15     &= 2(f_0^2-f_\text{max}^2) - \beta_f^2 \\
  16   f_\text{max}^2 &= f_0^2 - \frac{\beta_f^2}{2} \\
  17   f_\text{max} &= \sqrt{f_0^2 - \frac{\beta_f^2}{2}} \;,
  18   \label{eq:peak-frequency}
  19 \end{align}
  20 where we used $f\ne0$ during the large simplifying multiplication.  We
  21 see that the peak frequency is shifted from $f_0$ depending on the
  22 damping term $\beta_f$.  For overdamped cantilevers with large values
  23 of $\beta$, the peak frequency will not have a real solution.%
  24 %
  25 \nomenclature{$f_\text{max}$}{The frequency of the peak power in
  26   $\PSD_f$ (\cref{eq:peak-frequency}).}
  27
  28 \subsection{Propagation of errors}
  29 \label{sec:calibcant:discussion:errors}
  30
  31 Extracting cantilever spring constants with \cref{eq:kappa} is great,
  32 but the number you get is not much good if you can't estimate its
  33 accuracy.  We can find the effect of measurement and fitting errors on
  34 the calculated $\kappa$ using Taylor expansions\citep{ku66}.  To the
  35 first order,
  36
  37 \begin{equation}
  38   f(\vect{x}) \approx f_0 + \sum_i^n \p({\deriv{x_i}{f}(x_i - x_{i0})}) \;.
  39 \end{equation}
  40
  41 To applying this to \cref{eq:kappa}, we need the derivatives
  42 \begin{align}
  43   \deriv{\sigma_p}{\kappa}
  44      &= \deriv{\sigma_p}{}\p({\frac{\sigma_p^2 k_BT}{\avg{V_p(t)^2}}})
  45      = \frac{2\kappa}{\sigma_p} \\
  46   \deriv{T}{\kappa} &= \frac{\kappa}{T} \\
  47   \deriv{\avg{V_p(t)^2}}{\kappa} &= \frac{-\kappa}{\avg{V_p(t)^2}} \;,
  48 \end{align}
  49 where I have used $\avg{V_p(t)^2}$ directly to support alternative
  50 variance extraction models (\cref{sec:calibcant:vibration}).
  51
  52 Our measurements of $\sigma_p$, $T$, and $\avg{V_p(t)^2}$ are
  53 independent and therefore uncorrelated.  This lets us estimate
  54 standard deviation of $\kappa$ from the standard deviation of the
  55 measured parameters\citep{ku66}.
  56
  57 \begin{align}
  58   \sigma_\kappa &\approx \sqrt{
  59       \p({\deriv{\sigma_p}{\kappa}})^2 \sigma_{\sigma_p}^2 +
  60       \p({\deriv{T}{\kappa}})^2 \sigma_{T}^2 +
  61       \p({\deriv{\avg{V_p(t)^2}}{\kappa}})^2 \sigma_{\avg{V_p(t)^2}}^2
  62       } \\
  63     &\approx \sqrt{
  64       \frac{4\kappa^2}{\sigma_p^2} \sigma_{\sigma_p}^2 +
  65       \frac{\kappa^2}{T^2} \sigma_{T}^2 +
  66       \frac{\kappa^2}{\avg{V_p(t)^2}} \sigma_{\avg{V_p(t)^2}}^2
  67       } \\
  68   \frac{\sigma_\kappa}{\kappa} &\approx \sqrt{
  69       4\p({\frac{\sigma_{\sigma_p}}{\sigma_p}})^2 +
  70       \p({\frac{\sigma_{T}}{T}})^2 +
  71       \p({\frac{\sigma_{\avg{V_p(t)^2}}^2}{\avg{V_p(t)^2}}^2})
  72     }
  73 \end{align}
  74
  75 By repeating each experiment (surface bumps, temperature readings, and
  76 thermal vibrations) several times, we can estimate the statistical
  77 uncertainty in each parameter (\cref{fig:calibcant:statistics}).
  78 Values for $\sigma_p$ and $\avg{V_p^2}$ are quite sensitive to the
  79 location of the laser spot on the cantilever, so they can vary over
  80 large time scales as the microscope alignment drifts (e.g.~due to
  81 thermal expansion as the room warms up).  However, the calculated
  82 value for $\kappa$ should not vary significantly.
  83
  84 For example, on a recent calibration run\footnote{2013-02-07T08-20-46}
  85 I measured $\sigma_p=35.68\pm0.87\U{V/$\mu$m}$,
  86 $T=298.151\pm0.033\U{K}$, and $\avg{V_p^2}=96.90\pm0.99\U{mV$^2$}$,
  87 which gives $\kappa=54.1\pm2.7\U{mN/m}$.  These numbers are very
  88 similar to those obtained with a different cantilever from the same
  89 batch measured a month later (\cref{tab:calibcant:stability}).  The
  90 uncertainty contributions from each term are
  91 \begin{align}
  92   4\p({\frac{\sigma_{\sigma_p}}{\sigma_p}})^2 &= 2.38\E{-3}\U{N$^2$/m$^2$} \\
  93   \p({\frac{\sigma_{T}}{T}})^2 &= 1.29\E{-8}\U{N$^2$/m$^2$} \\
  94   \p({\frac{\sigma_{\avg{V_p(t)^2}}^2}{\avg{V_p(t)^2}}^2})
  95     &= 1.04\E{-4}\U{N$^2$/m$^2$}
  96 \end{align}
  97 The size of the thermal vibration is
  98 $\sqrt{\avg{V_p^2}}/\sigma_p\approx2.8\U{\AA}$ with forces on the
  99 order of $\kappa\sqrt{\avg{V_p^2}}/\sigma_p\approx15\U{pN}$.
 100
 101 In this particular run, most of the uncertainty in $\kappa$ comes from
 102 $\sigma_{\sigma_p}$, with some from $\sigma_{\avg{V_p(t)^2}}$.  To add
 103 uncertainty comparable to the photodiode sensitivity contribution, the
 104 temperature variance would have to be
 105 \begin{equation}
 106   \sigma_T = \frac{\sigma_{\sigma_p}}{\sigma_p}\cdot T
 107     \approx \frac{2\cdot 0.87}{35.68} \cdot 298.151\U{T}
 108     \approx 15\U{K} \;.
 109 \end{equation}
 110 This is a large enough window that simply using room temperature (or
 111 even a hard-coded $300\U{K}$) should not introduce excessive error in
 112 the calculated $\kappa$.
 113
 114 \begin{figure}
 115   \begin{center}
 116     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/calibcant/statistics.png}
 117     \caption{Estimating the statistical uncertainty of the calculated
 118       cantilever spring constant $\kappa$ through repeated
 119       measurements.\label{fig:calibcant:statistics}}
 120   \end{center}
 121 \end{figure}
 122
 123 \begin{table}
 124   \begin{center}
 125     \begin{tabular}{c c S[table-format=3.3] S[table-format=1.3]
 126                         S[table-format=3.3] S[table-format=1.3]}
 127       \toprule
 128       \multicolumn{2}{c}{Timestamp:} &
 129       \multicolumn{2}{c}{2013-03-03T16-37-12} &
 130       \multicolumn{2}{c}{2013-03-04T12-21-54} \\
 131       \midrule
 132       Quantity & Units & {Mean} & {Std.~Dev.} & {Mean} & {Std.~Dev.} \\
 133       \midrule
 134       $\sigma_p$    & \bareU{V/$\mu$m} & 46.22   & 0.76  & 41.30   & 0.21 \\
 135       $T$           & \bareU{K}        & 296.302 & 0.021 & 294.272 & 0.022 \\
 136       $\avg{V_p^2}$ & \bareU{mV$^2$}   & 108.3   & 1.1   & 105.5   & 2.16 \\
 137       $\kappa$      & \bareU{mN/m}     & 67.3    & 2.5   & 65.6    & 1.5 \\
 138       \bottomrule
 139     \end{tabular}
 140     \caption{Measured spring constant calibration parameters (mean and
 141       standard deviation) for a single cantilever on two consecutive
 142       days.  The measured parameters have changes slightly because the
 143       laser alignment and buffer temperature drift over time, but the
 144       measured $\kappa$ are not significantly different ($p=0.9$, as
 145       measured with a two-tailed Welch's
 146       $t$-test\citep{welch38,welch47}).\label{tab:calibcant:stability}}
 147     % Using Welch's t test
 148     %     http://en.wikipedia.org/wiki/Welch%27s_t_test
 149     %   from math import sqrt  # using Python in the following
 150     %   x1 = 67.3
 151     %   v1 = 2.5**2
 152     %   n1 = 10    # sortof :p
 153     %   x2 = 65.6
 154     %   v2 = 1.5**2
 155     %   n2 = 10
 156     %   t = (x1 - x2) / sqrt(v1/n1 + v2/n2)
 157     %     = 1.8
 158     % Degrees of freedom with the Welch-Satterthwaithe equation
 159     %   df = (v1/n1 + v2/n2)**2 / ( (v1/n1)**2/(n1-1) + (v2/n2)**2/(n2-1) )
 160     % Test null hypothesis that means are equal (two-tailed t)
 161     %     http://en.wikipedia.org/wiki/Two-tailed_test
 162     %   from scipy.stats.mstats import betai
 163     %   p = betai(0.5*df, 0.5, float(df) / (df + t*t))
 164     %     = 0.09
 165     % With arrays, we could have used scipy.stats.mstats.ttest_ind().
 166   \end{center}
 167 \end{table}
 168
 169 \subsection{Archiving experimental data}
 170 \label{sec:calibcant:discussion:data}
 171
 172 Scientific data is not thrown away after analysis.  Organizations may
 173 have standards for archival, and many journals require supporting data
 174 to be available on request after publication or archived in public
 175 databases\citep{pnas-data-archival,nature-data-archival}.  Both the
 176 raw data and the experimental parameters used to collect need to be
 177 preserved, but managing this manually is tedious and error prone.  Lab
 178 notebooks rarely contain \emph{all} of the parameters used to collect
 179 and analyze a particular calibration.  Data collected with
 180 \calibcant\ is saved in \citetalias{hdf5} with the full configuration
 181 (\cref{sec:pyafm:h5config}), bundling all of the information together
 182 in a single file.
 183
 184 One minor drawback to this approach is that configuration information
 185 (which is not likely to change often) is duplicated between
 186 calibration runs.  While this uses some extra disk space, the overhead
 187 is small.  The full calibration datafile weighs in at $3.4\U{MB}$,
 188 while the calibration section alone is just $37\U{kB}$ (1\% of the
 189 total).
 190
 191 Besides the benefit of having a self contained file, HDF5 provides
 192 efficient support for large arrays of typed data (such as the unsigned
 193 16-bit values from our DACs and ADCs), which is not possible with many
 194 other open file formats.  The HDF libraries are supported by the
 195 non-profit HDF Group with a 20 year development
 196 history\citep{hdf-group} and many users\citep{hdf-users}.  This
 197 suggests that HDF will be around for the long haul, and if it is
 198 eventually phased out, that there will be a number of well funded
 199 organizations interested in developing migration plans.