latex/problems/wking/problem.sprung-pendulum.tex

   1 \newcommand{\x}{\theta}
   2 \newcommand{\eq}{_\text{eq}}
   3 \newcommand{\xeq}{\x\eq}
   4 \newcommand{\xu}{\x_\text{u}}
   5 \newcommand{\zeq}{z\eq}
   6 \newcommand{\referenceProblem}{Problem 1}
   7
   8 \begin{problem}
   9 \emph{BONUS PROBLEM}.
  10 Find the angle $\theta$ as a function of time for the left hand bob in
  11 pendulum shown below in terms of the constants shown in the figure
  12 where $d$ is the unstretched length of the spring.
  13 \begin{center}
  14 \begin{asy}
  15 import Mechanics;
  16 real u = 1cm;
  17
  18 Pendulum pA = makePendulum(angleDeg=-40, length=2u,
  19     angleL="$\theta$", stringL=Label("$r$", embed=Shift));
  20 Pendulum pB = makePendulum(angleDeg=40, length=2u,
  21     angleL="$\theta$", stringL=Label("$r$", align=LeftSide, embed=Shift));
  22 Spring s = Spring(pFrom=pA.mass.center(), pTo=pB.mass.center(),
  23     unstretchedLength=abs(pA.mass.center().x)*2, L="$k$");
  24 Distance ds = Distance(pFrom=s.pFrom-(0,.7u),
  25                          pTo=s.pTo  -(0,.7u),
  26                            L="$d$");
  27 s.draw();
  28 ds.draw();
  29 pA.draw(drawVertical=true);
  30 pB.draw();
  31 label("$m$", pA.mass.center());
  32 label("$m$", pB.mass.center());
  33 \end{asy}
  34 \end{center}
  35 \end{problem}
  36
  37 \begin{solution}
  38 Because the situation is symmetric, the behavior of the left bob is
  39 the same as the behavior of the left half alone
  40 \begin{center}
  41 \begin{asy}
  42 import Mechanics;
  43 real u = 1cm;
  44
  45 Pendulum p = makePendulum(angleDeg=-40, length=2u,
  46                           angleL="$\theta$", stringL="$r$");
  47 Spring s = Spring(pFrom=p.mass.center(), pTo=(0,p.mass.center().y),
  48                   unstretchedLength=abs(p.mass.center().x),
  49                   L="$2k$");
  50 Distance ds = Distance(pFrom=s.pFrom-(0,.7u),
  51                          pTo=s.pTo  -(0,.7u),
  52                            L="$d/2$");
  53 s.draw();
  54 ds.draw();
  55 p.draw(drawVertical=true);
  56 label("$m$", p.mass.center());
  57 \end{asy}
  58 \end{center}
  59 where the spring constant doubles, because when the left bob
  60 compresses the spring by $\Delta x$ the right bob does as well, for a
  61 total compression of $2\Delta x$ and a restoring force of $2\Delta x k
  62 = \Delta x \cdot 2k$.  This is similar to \referenceProblem, except
  63 the equilibrium position is not about $\xeq = 0$, but about $\xeq =
  64 \arcsin(\frac{d\eq}{2r})$, and the spring is always absolutely
  65 horizontal in this case (it was approximately horizontal in
  66 \referenceProblem).  Therefor, the procedure is the same with the
  67 small angle approximations replaced by approximations valid around the
  68 new $\xeq$.
  69
  70 Blowing up the situation around the left bob we have
  71 \begin{center}
  72 \begin{asy}
  73 import Mechanics;
  74 real u = 1cm;
  75
  76 Pendulum p = makePendulum(angleDeg=-40, length=2u,
  77                           angleL="$\theta$");
  78 Vector fs = Force(p.mass.center(), dir=180, mag=1u, L="$F_s$");
  79 Vector fg = Force(p.mass.center(), dir=-90, mag=1u, L="$F_g$");
  80 Vector dx = Vector(p.mass.center(), dir=-40-180, mag=1.5u, L="$x'$");
  81 Vector dy = Vector(p.mass.center(), dir=-40-90, mag=1.5u, L="$y'$");
  82 Angle xas = Angle(dx.pTip(), p.mass.center(), fs.pTip(), L="$\theta$");
  83 Angle yag = Angle(dy.pTip(), p.mass.center(), fg.pTip(), L="$\theta$");
  84
  85 xas.draw();
  86 yag.draw();
  87 dx.draw();
  88 dy.draw();
  89 fs.draw();
  90 fg.draw();
  91 p.draw(drawVertical=true);
  92 \end{asy}
  93 \end{center}
  94
  95 The spring is stretched or compressed by
  96 \begin{equation}
  97   \dd x = r\p[{\sin(\x) - \sin(\xu)}]\;,
  98 \end{equation}
  99 where $\xu$ horizontal displacement of the bob when the spring is
 100 unstretched.
 101
 102 The total force is the sum of the spring force $F_s$ and the
 103 gravitation force $F_s$ acting on the bob.  The portion of this total
 104 force that is tangent to the bob's path is
 105 \begin{equation}
 106  \sum F_{\tan} = F_s\cos(\x) - F_g\sin(\x)
 107      = -kr\cos(\x)\p[{\sin(\x) - \sin(\xu)}] - mg\sin(\x)
 108 \end{equation}
 109 We also know from Newton's laws that (identically to \referenceProblem)
 110 \begin{equation}
 111   \sum F_{\tan} = ma_{\tan} = m\nderiv{2}{t}{x_{\tan}}
 112     = mr \nderiv{2}{t}{\x}
 113 \end{equation}
 114
 115 Combining these two formulas for $\sum F$ we have
 116 \begin{equation}
 117   mr\nderiv{2}{t}{\x} = -kr\cos(\x)\p[{\sin(\x) - \sin(\xu)}] - mg\sin(\x)
 118 \end{equation}
 119 To determine the behavior for small deflections, we need to Taylor
 120 expand the right hand side and keep the linear term to find the
 121 effective spring constant.  Recall the Taylor expansion of a function
 122 $f(z)$ for $z$ near some $z\eq$ is given by
 123 \begin{equation}
 124   f(z) = f(z\eq) + (z-z\eq) \cdot \p.{\deriv{z}{f}}|_\text{$z\eq$} + \ldots
 125 \end{equation}
 126 So our effective spring constant (valid for small $\dd\x$ around
 127 $\xeq$) is given by
 128 \begin{align}
 129   k' &= \frac{1}{mr}\p.{\deriv{z}{}\p\{{kr\cos(\x)\p[{\sin(\x) - \sin(\xu)}] + mg\sin(\x)}\}}|_\text{$\xeq$}
 130 \end{align}
 131
 132 Then we can find $\xeq$ by balancing the forces
 133 \begin{align}
 134   0 &= \p.{\sum F_{\tan}}|_\text{$\xeq$} \\
 135     &= -kr\cos(\xeq)\p[{\sin(\xeq) - \sin(\xu)}] - mg\sin(\xeq) \\
 136     &= XXX
 137 \end{align}
 138 % WORKING
 139
 140 \end{solution}