latex/problems/wking/problem.relativistic-limo.tex

   1 \begin{problem}
   2 \Part{a} How fast would you have to be driving a $20\U{ft}$ long limo
   3 to fit into $15\U{ft}$ deep garage?  \Part{b} How deep would the
   4 garage appear to the driver of the limo?  Is the limo ever really
   5 entirely in the garage?  Explain any apparent paradoxes.
   6
   7 Both of the lengths given are proper lengths.
   8 \end{problem} % Based on undergrad memories
   9
  10 \begin{solution}
  11 \Part{a}
  12 The proper length of the limo $L_0$ needs to be contracted to the
  13 length of the garage (equations compressed for space, read right to
  14 left, then top to bottom).
  15 \begin{align}
  16   L &= \frac{L_0}{\gamma} &
  17   \frac{L}{L_0} &= \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1-\p({\frac{v}{c}})^2} \\
  18   \p({\frac{L}{L_0}})^2 &= 1 - \p({\frac{v}{c}})^2 &
  19   \p({\frac{v}{c}})^2 &= 1 - \p({\frac{L}{L_0}})^2 \\
  20   \frac{v}{c} &= \sqrt{1 - \p({\frac{L}{L_0}})^2} = 0.661 &
  21   v &= \ans{0.661 c} = \ans{198\E{6}\U{m/s}} \;.
  22 \end{align}
  23
  24 \Part{b}
  25 The garage $L_{g0}$ is length contracted in the limo frame
  26 \begin{align}
  27   L_g &= \frac{L_{g0}}{\gamma} = L_{g0}\sqrt{1-\p({\frac{v}{c}})^2}
  28        = 15\U{ft}\sqrt{1-.661^2} = \ans{11.2\U{ft}} = \ans{3.43\U{m}} \;.
  29 \end{align}
  30
  31 Wait, how can the limo fit into a garage that appears even shorter
  32 than its proper length of $15\U{ft}$?  This is a
  33 relative-simultanaeity effect like the muon clock running slower than
  34 an earth clock while the earth clock runs slower than the muon clock.
  35 In the garage frame, the limo-nose-passes-crashes-into-back-wall event
  36 $A$ and the limo-tail-passes-door event $B$ occur at the same time.
  37 In the limo frame, event $A$ happens some time before event $B$.
  38
  39 Drawing a space-time diagram in the garage frame may help clarify the
  40 different events.  The limo is the grey smear.  The red dotted lines
  41 represent a $1\U{ls}$ time and space grid for the limo driver.  The
  42 blue lines show the speed of light.  The green lines show the garage.
  43 I've rescaled the garage and limo to make them $1\U{ls}$ and
  44 $1.33\U{ls}$ long respectively so that the axes have simple labels.
  45 The limo driver thinks that at the same time as event $A$, the tail of
  46 the limo is back at event $C$, while the door of the garage is up at
  47 event $D$.  Note that the garage is less than $1\U{ls}$ deep in the
  48 limo frame.
  49 \begin{center}
  50 \includegraphics[height=2in]{problem.relativistic-limo.limo}
  51 \end{center}
  52 ``Entirely in the garage'' is something of a trick question, since it
  53 means ``all of the limo is in the garage at same time'' and ``at the
  54 same time'' depends on your reference frame.  In the garage frame, the
  55 limo is entirely in the garage for a single instant.  In the limo
  56 frame, the limo is never entirely in the garage.  An absolute,
  57 true-no-matter-what answer to the question is not possible in the
  58 relativistic world-view.
  59 \end{solution}