latex/problems/Young_and_Freedman_12/problem28.60.tex

   1 \begin{problem*}{28.60}
   2 Figure~28.54 shows an end view of two long, parallel wires
   3 perpendicular to the $xy$-plane, each carrying a current $I$ but in
   4 opposite directions.  \Part{a} Copy the diagram, and draw vectors to
   5 show the \vect{B} field of each wire and the net \vect{B} field at a
   6 point $P$.  \Part{b} Derive the expression for the magnitude of
   7 \vect{B} at any point on the $x$-axis in terms of the $x$-coordinate
   8 of the point.  What is the direction of \vect{B}?  \Part{c} Graph the
   9 magnitude of \vect{B} at points on the $x$-axis.  \Part{d} At what
  10 value of $x$ is the magnitude of \vect{B} a maximum?  \Part{e} What is
  11 the magnitude of \vect{B} when $x\gg a$?
  12 \end{problem*}
  13
  14 \begin{nosolution}
  15 \begin{center}
  16 \begin{asy}
  17 import graph;
  18 import Mechanics;
  19
  20 xaxis("$x$");
  21 yaxis("$y$");
  22
  23 real u = 1cm;
  24 real a = 1u;
  25 real x = 3u;
  26 pen ipen = red+blue;
  27
  28 Vector Vt = Vector(Scale((0,a)), phi=90, ipen);
  29 Vector Vb = Vector(Scale((0,-a)), phi=-90, ipen);
  30 Vt.draw();
  31 Vb.draw();
  32
  33 dot("P", Scale((x,0)), N);
  34
  35 label("$a$", align=W, Scale((0,a/2)));
  36 label("$a$", align=W, Scale((0,-a/2)));
  37 label("$x$", align=S, Scale((x/2,0)));
  38 \end{asy}
  39 \end{center}
  40 \end{nosolution}
  41
  42 \begin{solution}
  43 \Part{a}
  44 \begin{center}
  45 \begin{asy}
  46 import graph;
  47 import Mechanics;
  48 import ElectroMag;
  49
  50 xaxis("$x$");
  51 yaxis("$y$");
  52
  53 real u = 1cm;
  54 real a = 1u;
  55 real x = 3u;
  56 pen ipen = red+blue;
  57
  58 Vector Vs[];
  59 Vs.push(Vector(Scale((0,a)), phi=90, ipen));
  60 Vs.push(Vector(Scale((0,-a)), phi=-90, ipen));
  61 Vs.push(BField((x,0), dir=degrees((x,-a))+90)); // From top wire
  62 Vs.push(BField((x,0), dir=degrees((x,a))-90)); // From bottom wire
  63 Vs.push(BField((x,0)));  // Net
  64
  65 for (int i=0; i<Vs.length; i+=1) {
  66   Vs[i].draw();
  67 }
  68
  69 dot("P", Scale((x,0)), N);
  70
  71 label("$a$", align=W, Scale((0,a/2)));
  72 label("$a$", align=W, Scale((0,-a/2)));
  73 label("$x$", align=S, Scale((x/2,0)));
  74 \end{asy}
  75 \end{center}
  76
  77 \Part{b}
  78 The magnitude of magnetic field from each wire at $P$ is
  79 \begin{equation}
  80   B_w = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}
  81     = \frac{\mu_0 I}{2\pi\sqrt{x^2+a^2}} \;.
  82 \end{equation}
  83 The net magnetic field is the sum of the horizontal components, since
  84 the vertical components cancel.
  85 \begin{equation}
  86   B = 2 B_w \cos\theta
  87     = 2\cdot\frac{\mu_0 I}{2\pi\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}
  88     = \ans{\frac{\mu_0 I a}{\pi(x^2+a^2)}} \;,
  89 \end{equation}
  90 where $\cos\theta=a/r$ comes from
  91 \begin{center}
  92 \begin{asy}
  93 import Mechanics;
  94 import ElectroMag;
  95
  96 real u = 1cm;
  97 real a = 1u;
  98 real x = 3u;
  99
 100 Vector Bt = BField((x,0), dir=degrees((x,-a))+90); // From top wire
 101 Angle theta1 = Angle((x,0)+dir(0), (x,0), (x,0)+dir(Bt.dir), "$\theta$");
 102 Angle theta2 = Angle((0,0), (0,a), (x,0), "$\theta$");
 103
 104 theta1.draw();
 105 theta2.draw();
 106 draw((0,0)--(0,a)--(x,0)--cycle);
 107 Bt.draw();
 108 label("$r$", (x/2,a/2), NE);
 109 label("$a$", (0,a/2), W);
 110 \end{asy}
 111 \end{center}
 112
 113 \Part{c}
 114 \begin{center}
 115 \begin{asy}
 116 import graph;
 117 size(5cm, 2cm, IgnoreAspect);
 118
 119 real a=1;
 120 real B(real x){
 121   return 1.0/(x**2 + 1);
 122 }
 123
 124 xaxis("$x$");
 125 yaxis("$B$");
 126 draw(graph(B, -2*a, 2*a, n=333), red);
 127 label("$a$", align=S, Scale((a,0)));
 128 label("$-a$", align=S, Scale((-a,0)));
 129 \end{asy}
 130 \end{center}
 131
 132 \Part{d}
 133 The magnitude of \vect{B} has a maximum at $\ans{x=0}$.
 134
 135 \Part{e}
 136 For $x\gg a$, $x^2+a^2\approx x^2$, so
 137 \begin{equation}
 138   B = \frac{\mu_0 I a}{\pi(x^2+a^2)}
 139     \approx \ans{\frac{\mu_0 I a}{\pi x^2}} \;.
 140 \end{equation}
 141 \end{solution}