latex/problems/Young_and_Freedman_12/problem28.30.tex

   1 % Commented out because these are defined in problem28.12.tex
   2 %\newcommand{\dB}{d\vect{B}}
   3 %\newcommand{\dl}{d\vect{l}}
   4
   5 \begin{problem*}{28.30}
   6 Calculate the magnitude and direction of the magnetic field at point
   7 $P$ due to the current in the semicircular section of wire shown in
   8 Fig.~28.46.  (\emph{Hint:} Does the current in the long, straight
   9 section of the wire produce any field at $P$?)
  10 \begin{center}
  11 \begin{asy}
  12 import Mechanics;
  13 import Circ; // TODO: wire(path);
  14
  15 real u = 1cm;
  16 real r = u;
  17
  18 Distance R = Distance((0,0), (r*Cos(45),r*Sin(45)), "$r$");
  19 R.draw();
  20 draw((-2r,0)--(-r,0){N}..(0,r){E}..{S}(r,0)--(2r,0));
  21 TwoTerminal Il = current((-1.5r,0), "I");
  22 TwoTerminal Ir = current((1.5r,0), "I");
  23 dot("$P$", (0,0), S);
  24 \end{asy}
  25 \end{center}
  26 \end{problem*}
  27
  28 \begin{solution}
  29 The Biot-Savart law
  30 \begin{equation}
  31   \dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\dl\times\rhat}{r^2}
  32 \end{equation}
  33 gives the magnetic field from an infinitesimal chunk of current.
  34 The straight sections of wire do not contribute any magnetic field at $P$, because
  35 \begin{equation}
  36   |\dl\times\rhat| = |\dl|\cdot|\rhat|\sin\theta = 0 \;,
  37 \end{equation}
  38 since $\theta=0\dg$ to the left and $180\dg$ to the right.
  39
  40 For all portions of wire along the semicircle, $\theta=90\dg$, and
  41 $\dl\times\rhat$ points into the page.  The net magnetic field at $P$
  42 is therefore
  43 \begin{equation}
  44   B = \int_s \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\dl\times\rhat}{r^2}
  45     = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I}{r^2} \int_s |\dl|\cdot|\rhat|\sin(90\dg)
  46     = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \int_s |\dl|
  47     = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \cdot \pi r
  48     = \ans{\frac{\mu_0I}{4r}} \;.
  49 \end{equation}
  50 where $\int_s |\dl|$ is just the length of the semicircle, which is
  51 half the $2\pi r$ circumference of the entire circle.
  52 \end{solution}