latex/problems/Young_and_Freedman_12/problem28.23.tex

   1 \begin{problem*}{28.23}
   2 Four long, parallel power lines each carry $100\U{A}$ currents.  A
   3 cross-sectional diagram of these lines if a square, $20.0\U{cm}$ on
   4 each side.  For each of the three cases shown in Fig.~28.41, calculate
   5 the magnetic field at the center of the square.
   6 \end{problem*}
   7
   8 \begin{nosolution}
   9 \begin{center}
  10 \begin{asy}
  11 import Mechanics;
  12
  13 real u = 1cm;
  14 real a = 1u;
  15 real dx = 3u;
  16 pen ipen = red+blue;
  17
  18 real x = 0;
  19 real d = a/2;
  20
  21 Vector Vs[];
  22
  23 label("(a)", (x,-d), S);
  24 Vs.push(Vector((x-d,-d), phi=-90, ipen));
  25 Vs.push(Vector((x+d,-d), phi=-90, ipen));
  26 Vs.push(Vector((x+d, d), phi=-90, ipen));
  27 Vs.push(Vector((x-d, d), phi=-90, ipen));
  28 x += dx;
  29
  30 label("(b)", (x,-d), S);
  31 Vs.push(Vector((x-d,-d), phi= 90, ipen));
  32 Vs.push(Vector((x+d,-d), phi=-90, ipen));
  33 Vs.push(Vector((x+d, d), phi= 90, ipen));
  34 Vs.push(Vector((x-d, d), phi=-90, ipen));
  35 x += dx;
  36
  37 label("(c)", (x,-d), S);
  38 Vs.push(Vector((x-d,-d), phi= 90, ipen));
  39 Vs.push(Vector((x+d,-d), phi= 90, ipen));
  40 Vs.push(Vector((x+d, d), phi=-90, ipen));
  41 Vs.push(Vector((x-d, d), phi=-90, ipen));
  42
  43 for (int i=0; i<Vs.length; i+=1)
  44   Vs[i].draw();
  45 \end{asy}
  46 \end{center}
  47 \end{nosolution}
  48
  49 \begin{solution}
  50 Note that the magnitude of magnetic field at the center of the square
  51 from any corner wire will be
  52 \begin{equation}
  53   B_w = \frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{a}{\sqrt{2}}} \;,
  54 \end{equation}
  55 where $a=20.0\U{cm}$ is the side length of the square, and
  56 $r=a/\sqrt{2}=a\cos(45\dg)$ is the distance from the corner of the
  57 square to the center.
  58
  59 Using our right-hand rules to determine the direction of the magnetic
  60 field from each wire
  61 \begin{center}
  62 \begin{asy}
  63 import Mechanics;
  64
  65 real u = 1cm;
  66 real a = 1u;
  67 real dx = 3u;
  68 pen iUL = red;
  69 pen iUR = blue;
  70 pen iLL = green;
  71 pen iLR = yellow;
  72
  73 real x = 0;
  74 real d = a/2;
  75 real dy = 1mm;
  76
  77 Vector Vs[];
  78
  79 label("(a)", (x,-d), S);
  80 Vs.push(Vector((x-d,-d), phi=-90, iLL));
  81 Vs.push(Vector((x,0), dir=-45, iLL));
  82 Vs.push(Vector((x+d,-d), phi=-90, iLR));
  83 Vs.push(Vector((x,0), dir=45, iLR));
  84 Vs.push(Vector((x+d, d), phi=-90, iUR));
  85 Vs.push(Vector((x,0), dir=135, iUR));
  86 Vs.push(Vector((x-d, d), phi=-90, iUL));
  87 Vs.push(Vector((x,0), dir=-135, iUL));
  88 x += dx;
  89
  90 label("(b)", (x,-d), S);
  91 Vs.push(Vector((x-d,-d), phi= 90, iLL));
  92 Vs.push(Vector((x,0), dir=135, iLL));
  93 Vs.push(Vector((x+d,-d), phi=-90, iLR));
  94 Vs.push(Vector((x,0), dir=45, iLR));
  95 Vs.push(Vector((x+d, d), phi= 90, iUR));
  96 Vs.push(Vector((x,0), dir=-45, iUR));
  97 Vs.push(Vector((x-d, d), phi=-90, iUL));
  98 Vs.push(Vector((x,0), dir=-135, iUL));
  99 x += dx;
 100
 101 label("(c)", (x,-d), S);
 102 Vs.push(Vector((x-d,-d), phi= 90, iLL));
 103 Vs.push(Vector((x,+dy), dir=135, iLL));
 104 Vs.push(Vector((x+d,-d), phi= 90, iLR));
 105 Vs.push(Vector((x,-dy), dir=-135, iLR));
 106 Vs.push(Vector((x+d, d), phi=-90, iUR));
 107 Vs.push(Vector((x,0), dir=135, iUR));
 108 Vs.push(Vector((x-d, d), phi=-90, iUL));
 109 Vs.push(Vector((x,0), dir=-135, iUL));
 110 Vs.push(Vector((x,0), dir=-180)); // Net B field.
 111 Vs[Vs.length-1].mag *= 4*Cos(45);
 112
 113 for (int i=0; i<Vs.length; i+=1)
 114   Vs[i].draw();
 115 \end{asy}
 116 \end{center}
 117
 118 For both \Part{a} and \Part{b}, the magnetic fields cancel out and the
 119 net magnetic field at the center of the square is \ans{zero}.  We can
 120 also see this by symmetry, without using the right-hand rule.
 121 The \Part{a} configuration is symmetric to $90\dg$ rotations about the
 122 square center, so the magnetic field at the center must also be
 123 symmetric to $90\dg$ rotations about the square center.  A vector with
 124 non-zero length is only symmetric to $360\dg$ rotations, so there
 125 cannot be any magnetic field in the center of \Part{a}.  Similarly,
 126 the \Part{b} configuration is symmetric to $180\dg$ rotations, so it
 127 cannot have magnetic field at the center.  \Part{c} is only symmetric
 128 to $360\dg$ rotations, so it can have a magnetic field at the center.
 129
 130 The magnitude of the magnetic field for \Part{c} is given by the sum
 131 of the horizontal components of the corner magnetic fields, since the
 132 vertical components cancel out.
 133 \begin{equation}
 134   B_c = 4 B_w \cos(45\dg)
 135     = 4 \cdot \frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{a}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
 136     = \ans{\frac{2\mu_0 I}{\pi a}} \;.
 137 \end{equation}
 138 \end{solution}