latex/problems/Young_and_Freedman_12/problem28.12.tex

   1 \newcommand{\dB}{d\vect{B}}
   2 \newcommand{\dl}{d\vect{l}}
   3
   4 \begin{problem*}{28.12}
   5 Two parallel wires are $5.00\U{cm}$ apart and carry currents in
   6 opposite directions, as shown in Fig.~28.37.  Find the magnitude and
   7 direction of the magnetic field at point $P$ due to the two
   8 $1.50\U{mm}$ segments of wire that are opposite each other and
   9 $8.00\U{cm}$ from point $P$.
  10 \begin{center}
  11 \begin{asy}
  12 import Mechanics;
  13 import ElectroMag;
  14 import Circ;
  15
  16 real u = 0.6cm;
  17 real Ysep = 5u;
  18 real hypot = 8u;
  19 real Xsep = sqrt(hypot**2 - (Ysep/2)**2);
  20 real Xslush = 1u;
  21 real Xseg = 1u;
  22
  23 Distance dtop = Distance((-Xsep,Ysep/2), (0,0), "$8.00\U{cm}$");
  24 Distance dbot = Distance((-Xsep,-Ysep/2), (0,0), "$8.00\U{cm}$");
  25
  26 dtop.draw(labeloffset=8pt);
  27 dbot.draw(labeloffset=-8pt);
  28 dot("P", (0,0));
  29
  30
  31 Wire wbot_seg = Wire((-Xsep-Xseg/2, -Ysep/2), (-Xsep+Xseg/2, -Ysep/2), red);
  32 Wire wbot = Wire((-Xsep-Xslush, -Ysep/2), (Xslush,-Ysep/2));
  33
  34 wbot.draw();
  35 wbot_seg.draw();
  36 TwoTerminal Ibot = current((0,-Ysep/2), 180, "$24.0\U{A}$");
  37 Distance dSegbot = Distance((-Xsep-Xseg/2,-Ysep/2), (-Xsep+Xseg/2,-Ysep/2),
  38                             offset=2mm, "$1.50\U{mm}$");
  39 dSegbot.draw(labeloffset=-8pt);
  40
  41
  42 Wire wtop_seg = Wire((-Xsep-Xseg/2, Ysep/2), (-Xsep+Xseg/2, Ysep/2), red);
  43 Wire wtop = Wire((-Xsep-Xslush, Ysep/2), (Xslush,Ysep/2));
  44
  45 wtop.draw();
  46 wtop_seg.draw();
  47 TwoTerminal Itop = current((Ibot.end.x,Ysep/2), "$12.0\U{A}$");
  48 Distance dSegtop = Distance((-Xsep-Xseg/2,Ysep/2), (-Xsep+Xseg/2,Ysep/2),
  49                             offset=-2mm, "$1.50\U{mm}$");
  50 dSegtop.draw(labeloffset=8pt);
  51
  52 \end{asy}
  53 \end{center}
  54 \end{problem*}
  55
  56 \begin{solution}
  57 Using our right hand rules for current-created \vect{B} fields, we see
  58 that both segments create magnetic fields that are into the page at
  59 $P$, so the sum will also be directed \ans{into the page}.  To find
  60 the magnitude, we'll use the Biot-Savart law
  61 \begin{equation}
  62   \dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\dl\times\rhat}{r^2}
  63 \end{equation}
  64 on both segments.  All of the components are given except for
  65 $\dl\times\rhat$.  Drawing a picture for the top segment
  66 \begin{center}
  67 \begin{asy}
  68 import Mechanics;
  69 import Circ;
  70
  71 real u = 0.6cm;
  72 real Ysep = 5u;
  73 real hypot = 8u;
  74 real Xsep = sqrt(hypot**2 - (Ysep/2)**2);
  75 real Xslush = 1u;
  76 real Xseg = 1u;
  77
  78 draw((-Xsep,Ysep/2)--(0,0)--(-Xsep,0)--cycle, dashed);
  79 label("$8.00$", (-Xsep/2,Ysep/4), NE);
  80 label("$2.50$", (-Xsep,Ysep/4), W);
  81
  82 dot("P", (0,0));
  83
  84 Angle theta = Angle((0,Ysep/2), (-Xsep,Ysep/2), (0,0), 10mm, "$\theta$");
  85 theta.draw();
  86 Angle theta2 = Angle((-Xsep,Ysep/2), (0,0), (-Xsep,0), 10mm, "$\theta$");
  87 theta2.draw();
  88
  89 Vector dL = Vector((-Xsep, Ysep/2), mag=3u, "$\dl$");
  90 Vector rhat = Vector((-Xsep, Ysep/2), mag=3u, dir=degrees((Xsep,-Ysep/2)),
  91                      "$\rhat$");
  92 dL.draw();
  93 rhat.draw();
  94 \end{asy}
  95 \end{center}
  96 Using our knowledge of cross products and trigonometry
  97 \begin{equation}
  98   |\dl\times\rhat|=|\dl|\cdot|\rhat|\cdot\sin\theta
  99     = 1.50\U{mm}\cdot1\cdot\sin\theta
 100     = 1.50\U{mm}\cdot\frac{2.50\U{cm}}{8.00\U{cm}}
 101     = 4.6875\E{-4}\U{m} \;.
 102 \end{equation}
 103 It's also pretty clear that this cross product will have the same
 104 magnitude and direction for the bottom segment, although you could
 105 work that out in detail if you didn't notice right off.
 106
 107 The net magnetic field $B_p$ is then
 108 \begin{equation}
 109   B_p = B_{pt} + B_{pb}
 110     = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{4.6875\E{-4}\U{m}}{(8.00\E{-2}\U{m})^2}
 111       \cdot(12.0\U{A}+24.0\U{A})
 112     = \ans{264\U{nT}} \;.
 113 \end{equation}
 114 \end{solution}