latex/problems/Young_and_Freedman_12/problem26.91.tex

   1 \begin{problem*}{26.91}
   2 As shown in Fig.~26.83, a network of resistors of resistances $R_1$
   3 and $R_2$ extends to infinity toward the right.  Prove that the total
   4 resistance $R_T$ of the infinite network is equal to
   5 \begin{equation}
   6   R_T = R_1 + \sqrt{R_1^2 + 2R_1R_2}
   7 \end{equation}
   8 (\emph{Hint:} Since the network is infinite, the resistance of the
   9 network to the right of points $c$ and $d$ is also equal to $R_T$.)
  10 \begin{center}
  11 \begin{verbatim}
  12     R1      R1      R1
  13 a-/\/\/-c-/\/\/-+-/\/\/-+-...
  14         |       |       |
  15         Z       Z       Z
  16         Z R2    Z R2    Z R2
  17         Z       Z       Z
  18     R1  |   R1  |   R1  |
  19 b-/\/\/-d-/\/\/-+-/\/\/-+-...
  20 \end{verbatim}
  21 \end{center}
  22 \end{problem*}
  23
  24 \begin{solution}
  25 Following the hint, we note that
  26 \begin{align}
  27   R_T &= R_1 + \p({\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_T}})^{-1} + R_1 \\
  28   R_T - 2R_1 &= \p({\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_T}})^{-1} \\
  29   (R_T - 2R_1) \cdot \p({\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_T}}) &= 1 \\
  30   (R_T - 2R_1) \cdot (R_T + R_2) &= R_2R_T \\
  31   R_T^2 - 2R_1R_T + R_2R_T - 2R_1R_2 &= R_2R_T \\
  32   0 &= R_T^2 - 2R_1R_T - 2R_1R_2 \;.
  33 \end{align}
  34 Plugging this into the quadratic formula
  35 \begin{equation}
  36   R_T = \frac{2R_1 \pm \sqrt{4R_1^2 - 4\cdot1\cdot(-2R_1R_2)}}{2}
  37     = R_1 \pm \sqrt{R_1^2 + 2R_1R_2}
  38     = \ans{R_1 + \sqrt{R_1^2 + 2R_1R_2}} \;,
  39 \end{equation}
  40 which is what we set out to show.  Note that we chose the $+$ case
  41 from $\pm$ because
  42 \begin{equation}
  43   R_1 < \sqrt{R_1^2 + 2R_1R_2} \;,
  44 \end{equation}
  45 and $R_T$ must be greater than zero.
  46 \end{solution}