latex/problems/Young_and_Freedman_12/problem23.21.tex

   1 \begin{problem*}{21}
   2 Two point charges $q_1=+2.40\U{nC}$ and $q_2=-6.50\U{nC}$ are
   3 $0.100\U{m}$ apart.  Point $A$ is midway between them; point $B$ is
   4 $0.080\U{m}$ from $q_1$ and $0.060\U{m}$ from $q_2$ (Fig.~23.31).
   5 Take the electric potential to be zero at infinity.  Find \Part{a} the
   6 potential at point $A$; \Part{b} the potential at point $B$; \Part{c}
   7 the work done by the electric field on a charge of $2.50\U{nC}$ that
   8 travels from point $B$ to point $A$.
   9 \begin{center}
  10 \begin{asy}
  11 import Mechanics;
  12 import ElectroMag;
  13
  14 real u = 50cm;
  15 real dOT = 0.1;
  16 real dOB = 0.08;
  17 real dTB = 0.06;
  18
  19 Charge qO = pCharge((0,0), L="$q_1$");
  20 Charge qT = nCharge((dOT,0)*u, L="$q_2$");
  21 pair A = (qO.center+qT.center)/2.0;
  22 // x^2 + y^2 = dOB^2
  23 // (x-a)^2 + y^2 = dTB^2     where a=qT.center.x
  24 //   so
  25 // 2xa - a^2 = dOB^2 - dTB^2
  26 // x = (dOB^2 - dTB^2 + a^2)/(2a)
  27 // y = (dOB^2-x^2)^0.5
  28 real Bx = (dOB**2 - dTB**2 + dOT**2)/(2*dOT);
  29 pair B = (Bx,(dOB**2-Bx**2)**0.5)*u;
  30 Distance DOA = Distance(qO.center, A, L=Label("$0.050\U{m}$", align=S));
  31 Distance DTA = Distance(A, qT.center, L=Label("$0.050\U{m}$", align=S));
  32 Distance DOB = Distance(qO.center, B, L=Label("$0.080\U{m}$", align=NW));
  33 Distance DTB = Distance(B, qT.center, L=Label("$0.060\U{m}$", align=NE));
  34
  35 DOA.draw(); DTA.draw(); DOB.draw(); DTB.draw();
  36 dot(A, L="$A$", align=S);
  37 dot(B, L="$B$", align=N);
  38
  39 qO.draw(); qT.draw();
  40 \end{asy}
  41 \end{center}
  42 \end{problem*}
  43
  44 \begin{solution}
  45 \Part{a}
  46 One of the nice features of electric potential is that it is a scalar,
  47 so it's a lot easier to sum up then the vector electric field.
  48 \begin{equation}
  49   V_A = V_{1A} + V_{2A}
  50       = \frac{kq_1}{r_{1A}} + \frac{kq_2}{r_{2A}}
  51       = 8.99\E{9}\U{Nm$^2$/C$^2$}\cdot\p({
  52         \frac{2.40\E{-9}\U{C}}{0.050\U{m}}+\frac{-6.5\E{-9}\U{C}}{0.050\U{m}}})
  53       = \ans{-737\U{J/C}} \;.
  54 \end{equation}
  55
  56 \Part{b}
  57 \begin{equation}
  58   V_B = V_{1B} + V_{2B}
  59       = \frac{kq_1}{r_{1B}} + \frac{kq_2}{r_{2B}}
  60       = 8.99\E{9}\U{Nm$^2$/C$^2$}\cdot\p({
  61         \frac{2.40\E{-9}\U{C}}{0.080\U{m}}+\frac{-6.5\E{-9}\U{C}}{0.060\U{m}}})
  62       = \ans{-704\U{J/C}} \;.
  63 \end{equation}
  64
  65 \Part{c}
  66 The electric potential energy change of the moving charge is given by
  67 \begin{equation}
  68   \Delta U_{BA} = q\Delta V_{BA} = q(V_A-V_B)
  69     = 2.50\E{-9}\U{C}\cdot (-737 + 704)\U{J/C}
  70     = -82\U{nJ} \;.
  71 \end{equation}
  72 It makes sense that the charge lost electric potential energy, since
  73 it is a positive charge moving to the lower potential point $A$.  The
  74 electric potential energy lost went into some other form of energy
  75 (kinetic, heat, work, mechanical), but the electric field was giving
  76 energy to that other form, so it does \emph{positive} work:
  77 $\ans{82\U{nJ}}$.
  78 \end{solution}