latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem31.46.tex

   1 \begin{problem*}{31.46}
   2 A circular loop of wire of resistance $R=0.500\U{\Ohm}$ and radius
   3 $r=8.00\U{cm}$ is in a uniform magnetic field directed out of the page
   4 as in Figure~P31.46.  If a clockwise current of $I=2.50\U{mA}$ is
   5 induced in the loop, \Part{a} is the magnetic field increasing or
   6 decreasing in time?  \Part{b} Find the rate at which the field is
   7 changing in time.
   8 \begin{center}
   9 \begin{asy}
  10 import Mechanics;
  11 import ElectroMag;
  12
  13 real r = 1cm;
  14 real dr = 6pt;
  15
  16 Vector B = BField(phi=90);
  17 vector_field(width=2.5*r, height=2.5*r, v=B);
  18 draw(scale(r)*unitcircle);
  19 Distance Dr = Distance((0,0), (r,0), "$r$");  Dr.draw();
  20 draw(arc((0,0), r+dr, angle1=10, angle2=-10), CurrentPen, ArcArrow);
  21 label("$I$", (r+dr, 0), align=E);
  22 \end{asy}
  23 \end{center}
  24 \end{problem*}
  25
  26 \begin{solution}
  27 \Part{a}
  28 A clockwise current induces an inward magnetic field inside the loop,
  29 so the external flux must be increasingly out of the page.  Therefore,
  30 the magnetic field is \ans{increasing}.
  31
  32 \Part{b}
  33 The induced \EMF\ must be
  34 \begin{align}
  35   0 &= \EMF - IR \\
  36   \EMF &= IR \;,
  37 \end{align}
  38 This is related to the changing field via magnetic flux.
  39 \begin{align}
  40   |\EMF| &= |-\deriv{t}{\Phi_B}| = \deriv{t}{AB} = A\deriv{t}{B}
  41     = \pi r^2 \deriv{t}{B} \\
  42   \deriv{t}{B} &= \frac{\EMF}{\pi r^2} = \frac{IR}{\pi r^2}
  43     = \ans{62.2\U{T/s}} \;.
  44 \end{align}
  45 \end{solution}