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   1 \begin{problem*}{30.64}
   2 Two coplanar and concentric circular loops of wire carry currents of
   3 $I_1=5.00\U{A}$ and $I_2=3.00\U{A}$ in opposite directions as in
   4 Figure~P30.64.  If $r_1=12.0\U{cm}$ and $r_2=9.00\U{cm}$, what
   5 are \Part{a} the magnitude and \Part{b} the direction of the magnetic
   6 field at the center of the two loops?  \Part{c} Let $r_1$ remain fixed
   7 at $12.0\U{cm}$ and let $r_2$ be variable.  Determine the value of
   8 $r_2$ such that the net field at the center of the loops is zero.
   9 \begin{center}
  10 \begin{asy}
  11 import Mechanics;
  12 import ElectroMag;
  13 import Circ;
  14
  15 real u = 0.2cm;
  16 real r1 = 12u;
  17 real r2 = 9u;
  18 real dr = 6pt;
  19
  20 draw(scale(r1)*unitcircle, line);
  21 draw(scale(r2)*unitcircle, line);
  22 Distance d1 = Distance((0,0), r1*dir(-45), "$r_1$");
  23 d1.draw();
  24 Distance d2 = Distance((0,0), r2*dir(45), "$r_2$");
  25 d2.draw();
  26
  27 draw(arc((0,0), r1+dr, angle1=10, angle2=-10), CurrentPen, ArcArrow);
  28 label("$I_1$", (r1+dr)*dir(0), E);
  29 draw(arc((0,0), r2-dr, angle1=170, angle2=190), CurrentPen, ArcArrow);
  30 label("$I_2$", (r2-dr)*dir(180), E);
  31 \end{asy}
  32 \end{center}
  33 \end{problem*}
  34
  35 \begin{solution}
  36 \Part{a}
  37 We're interested in the magnetic field generated at the center of the
  38 ring.  There is no path for an Amperian loop that takes advantage of
  39 the problem's symmetry, so we'll use the Biot--Savart law directly.
  40 Integrating around a single ring of radius $r$, the magnetic field at
  41 the center is given by
  42 \begin{align}
  43   \vect{B} &= \oint_S \dd\vect{B}
  44     = \oint_S \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I \dd\vect{s} \times \rhat}{r^2}
  45     = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \oint_S |\dd\vect{s}|\cdot|\rhat|\cdot\sin(\theta)
  46     = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \oint_S |\dd\vect{s}|
  47     = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \cdot 2\pi r
  48     = \frac{\mu_0 I}{2 r} \;,
  49 \end{align}
  50 where we took advantage of the following facts:
  51 \begin{itemize}
  52   \item The current $I$ and distance $r$ from the wire to the point we
  53     care about are the same for every segment $\dd\vect{s}$ in the
  54     loop, so we can pull these constants outside the integral.
  55  \item The cross product of two vectors can be written
  56    $\vect{A}\times\vect{B}=|\vect{A}|\cdot|\vect{B}|\cdot\sin(\theta)$.
  57  \item \rhat is a unit vector ($|\rhat|=1$).
  58  \item \rhat always points centerward and $\dd\vect{s}$ is always
  59    tangent to the ring, so $\theta=90\dg$ and $\sin(\theta)=1$.
  60  \item $\oint_S |\dd\vect{s}|$ is just the total length of the path
  61    $S$, which is the circumfernce of the ring ($2\pi r$).
  62 \end{itemize}
  63 Using the right hand rule, it is clear that a counterclockwise current
  64 will generate a magnetic field at the center of the ring which points
  65 out of the page.
  66
  67 Now that we have a formula for the magnetic field at the center of the
  68 ring, we can calculate the magnetic field at the center of the two
  69 rings using superposition.  Letting \emph{out of the page} be the
  70 positive direction,
  71 \begin{equation}
  72   B = \frac{\mu_0 (-I_1)}{2 r_1} + \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2}
  73     = -5.24\U{$\mu$T} \;, \label{eq:30.64.a}
  74 \end{equation}
  75 so the magnetic field has a magnitude of $\ans{5.24\U{$\mu$T}}$.
  76
  77 \Part{b}
  78 Because we picked \emph{out of the page} as the positive direction,
  79 the $-$ sign in \cref{eq:30.64.a} means that the magnetic field points
  80 \ans{into the page}.
  81
  82 \Part{c}
  83 If we allow $r_2$ to vary, we have no magnetic field when
  84 \begin{align}
  85   0 &= B = \frac{\mu_0 (-I_1)}{2 r_1} + \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2} \\
  86   \frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} &= \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2} \\
  87   \frac{I_1}{r_1} &= \frac{I_2}{r_2} \\
  88   r_2 &= \frac{I_2}{I_1} r_1 = \ans{7.20\U{cm}} \;.
  89 \end{align}
  90 \end{solution}