latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem30.18.tex

   1 \begin{problem*}{30.18}
   2 Two long, parallel wires carry currents of $I_1=3.00\U{A}$ and
   3 $I_2=5.00\U{A}$ in the directions indicated in
   4 Figure~P30.18.  \Part{a} Find the magnitude and direction of the
   5 magnetic field at a point midway between the wires.  \Part{b} Find the
   6 magnitude and direction of the magnetic field at point $P$, located
   7 $d=20.0\U{cm}$ above the wire carrying the $5.00\U{A}$ current.
   8 \begin{center}
   9 \begin{asy}
  10 import Mechanics;
  11 import ElectroMag;
  12
  13 real d = 2cm;
  14 pair a = (0,0);
  15 pair b = a + (d,0);
  16 pair M = (a+b)/2;
  17 pair P = b + (0,d);
  18
  19 Vector Ia = Current(a, phi=90, "$I_1$");
  20 Ia.draw();
  21 Vector Ib = Current(b, phi=90, "$I_2$");
  22 Ib.draw();
  23 Distance ab = Distance(a, b, "$d$", offset=18pt);
  24 ab.draw();
  25 Distance bP = Distance(b, P, "$d$", offset=18pt);
  26 bP.draw();
  27 dot("$M$", M, N);
  28 dot("$P$", P, E);
  29 \end{asy}
  30 \end{center}
  31 \end{problem*}
  32
  33 \begin{solution}
  34 \Part{a}
  35 Using the formula for magnetic field from a long straight wire, the
  36 total magnetic field at each point is the sum of the contributions
  37 from each source wire.  Selecting \emph{up} as the positive direction,
  38 \begin{equation}
  39   B_M = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi\frac{d}{2}} - \frac{\mu_0 I_2}{2\pi\frac{d}{2}}
  40     = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1-I_2)
  41     = \ans{-4.00\U{$\mu$T}} \;,
  42 \end{equation}
  43 so the magnetic field at $M$ points \ans{down} with a magnitude of
  44 \ans{4.00\U{$\mu$T}}.
  45
  46 \Part{b}
  47 This time we have to use vector addition.
  48 \begin{align}
  49   \vect{B}_P
  50     &= \frac{\mu_0 I_1}{2\pi(\sqrt{2}d)}\cdot\frac{-\ihat+\jhat}{\sqrt{2}}
  51        + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d}\cdot(-\ihat)
  52     = \frac{\mu_0}{2\pi d}
  53       \cdot \p[{\frac{I_1}{2} \cdot (-\ihat+\jhat) - I_2\ihat}]
  54     = \frac{\mu_0}{2\pi d}
  55       \cdot \p[{-\p({\frac{I_1}{2}+I_2})\ihat + \frac{I_1}{2}\jhat}]
  56     = (-6.50\ihat + 1.50\jhat)\U{$\mu$T} \\
  57   |\vect{B}_P| &= \sqrt{(-6.50)^2 + 1.50^2}\U{$\mu$T}
  58     = \ans{6.67\U{$\mu$T}} \\
  59   \theta_P &= \arctan\p({\frac{1.50}{-6.50}})
  60     = \ans{167\dg} \;,
  61 \end{align}
  62 where we used the backside $180\dg$ rule to adjust the output from
  63 $\arctan$.  You could also use \verb+atan2(y, x)+ and let your
  64 calculator handle the backside $180\dg$ automatically if your
  65 calculator supports that function.
  66 \end{solution}