latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem28.71.tex

   1 \begin{problem*}{28.71}
   2 In Figure~P28.71, suppose the switch has been closed for a time
   3 interval sufficiently long for the capacitor to become fully charged.
   4 Find \Part{a} the steady state current in each resistor and \Part{b}
   5 the charge $Q$ on the capacitor.  \Part{c} The switch is now opened at
   6 $t=0$.  Write an equation for the current in $R_2$ as a function of
   7 time and \Part{d} find the time interval required for the charge on
   8 the capacitor to fall to one-fifth its initial value.
   9 \begin{center}
  10 \begin{asy}
  11 % +---S----12kO--+-----+
  12 % |              |    ___
  13 %___             |    ___ 10uF
  14 % -          R2=15kO   |
  15 % |              |    3kO
  16 % |              |     |
  17 % +--------------+-----+
  18 import Circ;
  19
  20 real u = 1cm;
  21 real dx = u/2;
  22 real dy = u/2;
  23
  24 MultiTerminal S = switchSPST(label="$S$");
  25 MultiTerminal R1 = resistor(
  26     S.terminal[1], label="$R_1$", value="$12.0\U{k\Ohm}$");
  27 pair Pu = R1.terminal[1] + (dx,0);  // top junction
  28 pair Pul = S.terminal[0] - (dx,0);  // upper-left corner
  29 pair Pur = Pu + (2u,0);     // upper-right corner
  30 MultiTerminal C = capacitor(
  31     Pur-(0,dy), dir=-90, label="$C$", value="$10.0\U{$\mu$F}$");
  32 MultiTerminal R3 = resistor(
  33     C.terminal[1]+(0,-dy), -90, label="$R_3$", value="$3.00\U{k\Ohm}$");
  34 MultiTerminal R2 = resistor(
  35     label="$R_2$", value="$15.0\U{k\Ohm}$", draw=false);
  36 R2.centerto(R3.terminal[1], C.terminal[0], offset=Pur.x - Pu.x);
  37 R2.draw();
  38 pair Pb = (R2.terminal[0].x, R3.terminal[1].y - dy);
  39 MultiTerminal V = source(type=DC, label="$V$", value="$9.00\U{V}$", draw=false);
  40 V.centerto(R3.terminal[1], C.terminal[0], offset=Pur.x - Pul.x);
  41 V.draw();
  42
  43 wire(R1.terminal[1], R2.terminal[1], rlsq);
  44 wire(Pu, C.terminal[0], rlsq);
  45 wire(C.terminal[1], R3.terminal[0]);
  46 wire(R3.terminal[1], Pb, udsq);
  47 wire(R2.terminal[0], Pb);
  48 wire(Pb, V.terminal[0], rlsq);
  49 wire(V.terminal[1], S.terminal[0], udsq);
  50 dot(Pu);
  51 dot(Pb);
  52 \end{asy}
  53 \end{center}
  54 \end{problem*}
  55
  56 \begin{solution}
  57 \Part{a}
  58 Label the currents $I_1$, $I_2$, and $I_3$ from left to right with
  59 each current moving up in its vertical wire.  In the steady state,
  60 $I_3=\ans{0}$ (otherwise $Q$ would be changing, which would not be
  61 ``steady state'').  Applying the Kirchhoff's junction rule to the top
  62 junction.
  63 \begin{center}
  64 \begin{asy}
  65 import Circ;
  66
  67 real dx = 6pt;
  68
  69 MultiTerminal I1 = current((0, 0), label="$I_1$");
  70 real ilen = I1.terminal[1].x - I1.terminal[0].x;
  71 pair P = I1.terminal[1] + (dx, 0);
  72 MultiTerminal I2 = current(P - (0, dx), dir=90, label="$I_2$", draw=false);
  73 I2.shift((0, -ilen-dx));
  74 I2.draw();
  75 MultiTerminal I3 = current(P + (dx, 0), dir=180, label="$I_3$", draw=false);
  76 I3.shift((ilen, 0));
  77 I3.draw();
  78
  79 wire(I1.terminal[1], I3.terminal[1]);
  80 wire(P, I2.terminal[1]);
  81 dot(P);
  82 \end{asy}
  83 \end{center}
  84 \begin{align}
  85   0 &= I_1 + I_2 + I_3 = I_1 + I_2 \\
  86   I_2 &= - I_1 \;.
  87 \end{align}
  88
  89 Applying Kirchhoff's loop rule to the left-hand loop moving clockwise
  90 from the lower-left corner, we have
  91 \begin{center}
  92 \begin{asy}
  93 import Circ;
  94
  95 real u = 2cm;
  96
  97 wire((0, 0), (2u, u), rlsq);
  98 wire((0, 0), (2u, u), udsq);
  99 wire((u, 0), (u, u));
 100 dot((u, 0));
 101 dot((u, u));
 102
 103 MultiTerminal I1 = current(label="$I_1$", draw=false);
 104 I1.centerto((0, 0), (0, u));
 105 I1.draw();
 106 MultiTerminal I2 = current(label="$I_2$", draw=false);
 107 I2.centerto((u, 0), (u, u));
 108 I2.draw();
 109 MultiTerminal I3 = current(label="$I_3$", draw=false);
 110 I3.centerto((2u, 0), (2u, u));
 111 I3.draw();
 112
 113 pair[] points = {(0, 0), (0, u), (u, u), (u, 0)};
 114 kirchhoff_loop(points);
 115 \end{asy}
 116 \end{center}
 117 \begin{align}
 118   0 &= V - I_1 R_1 + I_2 R_2 \\
 119   V &= I_1 R_1 - I_2 R_2 = I_1 R_1 + I_1 R_2 = I_1 (R_1+R_2) \\
 120   I_1 &= \frac{V}{R_1+R_2} = \ans{333\U{$\mu$A}} \\
 121   I_2 &= -I_1 = \ans{-333\U{$\mu$A}} \;.
 122 \end{align}
 123 So we have $333\U{$\mu$A}$ of current flowing clockwise through the
 124 left loop, and no current in the right loop.
 125
 126 \Part{b}
 127 Applying Kirchhoff's loop rule to the right-hand loop moving clockwise
 128 from the lower-right corner, we have
 129 \begin{center}
 130 \begin{asy}
 131 import Circ;
 132
 133 real u = 2cm;
 134
 135 wire((0, 0), (2u, u), rlsq);
 136 wire((0, 0), (2u, u), udsq);
 137 wire((u, 0), (u, u));
 138 dot((u, 0));
 139 dot((u, u));
 140
 141 pair[] points = {(2u, 0), (u, 0), (u, u), (2u, u)};
 142 kirchhoff_loop(points);
 143 \end{asy}
 144 \end{center}
 145 \begin{align}
 146   0 &= - I_2 R_2 - \frac{Q}{C} + I_3 R_3 \\
 147   I_2 R_2 &= -\frac{Q}{C} \\
 148   Q &= -C I_2 R_2 = -(10.0\U{$\mu$F})\cdot(-333\U{$\mu$A})\cdot(15.0\U{k\Ohm})
 149     = \ans{50\U{$\mu$C}} \;.
 150 \end{align}
 151 You could jump to the final equation for $Q$ by using the capacitor
 152 equation $Q=CV$ and noting that the voltage drop over the capacitor
 153 must match the voltage drop $V=|I_2R_2|$ over $R_2$ (effectively doing
 154 Kirchhoff's loop rule in your head).
 155
 156 The top capacitor plate will hold the positive charge, because when
 157 the switch was first closed, the capacitor was completely discharged.
 158 The current $I_1$ split and flowed down through both the middle and
 159 right wire.  As time went on, the charge $Q$ built up on the
 160 capacitor, and current through the right wire slowed, stopping at
 161 equilibrium with the capacitor fully charged.
 162
 163 \Part{c}
 164 With the switch opened, $I_1=0$.  Resolving our earlier junction equation
 165 \begin{align}
 166   0 &= I_1 + I_2 + I_3 = I_2 + I_3 \\
 167   I_2 &= - I_3 \;,
 168 \end{align}
 169 so current will flow up through the right-hand wire ($I_3>0$) and down
 170 through the center wire ($I_2<0$) as the capacitor discharges.
 171 Repeating our Kirchhoff loop from \Part{b},
 172 \begin{align}
 173   0 &= - I_2 R_2 - \frac{q}{C} + I_3 R_3 \\
 174   \frac{q}{C} &= (R_2+R_3)I_3 = R'I_3 \;,
 175 \end{align}
 176 where $R'\equiv R_2+R_3$ is shorthand to allow cleaner formulas for
 177 the rest of the problem, and $q$ is the charge on the capacitor
 178 ($q(t=0)=Q$).
 179
 180 As the capacitor discharges, $\deriv{t}{q}<0$, so $I_3=-\deriv{t}{q}$.
 181 We can then solve for $q(t)$ by integrating with respect to time.
 182 \begin{align}
 183   \frac{q}{C} &= -R'\deriv{t}{q} \\
 184   \frac{-\dd t}{R'C} &= \frac{\dd q}{q} \\
 185   \int_{t=0}^t \frac{-\dd t}{R'C} &= \int_{t=0}^t \frac{\dd q}{q} \\
 186   \frac{-t}{R'C} &= \ln(q) - \ln(Q) = \ln\p({\frac{q}{Q}}) \;,
 187 \end{align}
 188 where $-\ln(Q)$ is a constant of integration which is determined by
 189 the conditions at $t=0$.  Raising $e$ to either side this equation, we
 190 have
 191 \begin{align}
 192   e^{\frac{-t}{R'C}} &= e^{\ln\p({\frac{q}{Q}})} = \frac{q}{Q} \\
 193   q &= Q e^{\frac{-t}{R'C}} \\
 194   I_3 &= -\deriv{t}{q}
 195     = -\p({\frac{-1}{R'C}}) Q e^{\frac{-t}{R'C}}
 196     = \frac{V_0}{R'} e^{\frac{-t}{R'C}} \;,
 197 \end{align}
 198 where $V_0=Q/C$ is the initial voltage across the capacitor.  You can
 199 see that both the charge on the capacitor and the current through the
 200 loop will drop off exponentially with a time constant $R'C$ as the
 201 system discharges.
 202
 203 Now we can put together our knowledge of the switch-closed and
 204 switch-open cases to write an equation for $I_2$.
 205
 206 \begin{equation}
 207   I_2 = \begin{cases}
 208           \frac{-V}{R_1+R_2} = \ans{-333\U{$\mu$A}}
 209             &  t<0 \\
 210           -\frac{Q}{R'C} e^{\frac{-t}{R'C}}
 211             = \frac{C I_2(t<0) R_2}{R'C} e^{\frac{-t}{R'C}}
 212             = \frac{-V R_2}{(R_1+R_2)\cdot(R_2+R_3)} e^{\frac{-t}{R'C}}
 213             = \ans{-(278\U{$\mu$A})\cdot e^{\frac{-t}{180\U{ms}}}}
 214             &  t>0
 215         \end{cases}
 216 \end{equation}
 217
 218 \Part{d}
 219 Plugging into our formula for $q(t)$
 220 \begin{align}
 221   \frac{Q}{5} &= q(t) = Q e^{\frac{-t}{R'C}} \\
 222   \frac{1}{5} &= e^{\frac{-t}{R'C}} \\
 223   \ln\p({\frac{1}{5}}) &= \frac{-t}{R'C} \\
 224   t &= -R'C\ln\p({\frac{1}{5}}) = R'C\ln(5) = \ans{290\U{ms}}
 225 \end{align}
 226 \end{solution}