latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem28.11.tex

   1 \begin{problem*}{28.11}
   2 A battery with $\EMF=6.00\U{V}$ and no internal resistance supplies
   3 current to the circuit shown in Figure~P28.11.  When the double-throw
   4 switch $S$ is open as shown in the figure, the current in the battery
   5 is $1.00\U{mA}$.  When the switch is closed in position $a$, the
   6 current in the battery is $1.20\U{mA}$.  When the switch is closed in
   7 position $b$, the current in the battery is $2.00\U{mA}$.  Find the
   8 resistances \Part{a} $R_1$, \Part{b} $R_2$, and \Part{c} $R_3$.
   9 \begin{center}
  10 %  +---R1---+----R2----+
  11 %  |        |          |
  12 %  |        R2         |
  13 %  _        a          |
  14 % ___      S ----------+
  15 %  |        b          R3
  16 %  |        |          |
  17 %  +--------+----------+
  18 \begin{asy}
  19 import Circ;
  20
  21 MultiTerminal S = switchSPDT(dir=180, label=Label("$S$", align=dir(-70)));
  22 label("$a$", S.terminal[2], align=W);
  23 label("$b$", S.terminal[1], align=W);
  24 MultiTerminal R2v = resistor(S.terminal[2], dir=90, "$R_2$");
  25 MultiTerminal R1 = resistor(
  26     R2v.terminal[1], dir=180, label=Label("$R_1$", align=N));
  27 MultiTerminal R2h = resistor(R2v.terminal[1], "$R_2$");
  28 MultiTerminal R3 = resistor(
  29     (R2h.terminal[1].x, S.terminal[0].y), dir=-90, "$R_3$");
  30 MultiTerminal B = battery(label=Label("$\EMF$", align=W), draw=false);
  31 B.centerto(R1.terminal[1], (R1.terminal[1].x, R3.terminal[1].y));
  32 B.draw();
  33 wire(R1.terminal[1], B.terminal[0]);
  34 wire(B.terminal[1], R3.terminal[1], udsq);
  35 pair bx = (S.terminal[1].x, R3.terminal[1].y);
  36 wire(S.terminal[1], bx);
  37 dot(bx);
  38 wire(S.terminal[0], R3.terminal[0]);
  39 wire(R3.terminal[0], R2h.terminal[1]);
  40 dot(R3.terminal[0]);
  41 dot(R2v.terminal[1]);
  42 \end{asy}
  43 \end{center}
  44 \end{problem*}
  45
  46 \begin{solution}
  47 When the switch is in position $b$, the vertical $R_2$ resistor
  48 recieves no current.  Applying Kirchhoff's loop rule gives
  49 \begin{align}
  50   0 &= \EMF - I R_3 - I R_2 - I R_1 \\
  51   \frac{\EMF}{I} &= R_1 + R_2 + R_3 \;.
  52 \end{align}
  53
  54 When the switch is in position $a$, the two $R_2$ resistors are in
  55 parallel, so they can be replaced by an equivalent resistance
  56 \begin{equation}
  57   R_2' = (1/R_2 + 1/R_2)^{-1} = R_2/2 \;.
  58 \end{equation}
  59 After you've made this replacement, there is only a single loop in the
  60 circuit.  Applying Kirchhoff's loop rule gives
  61 \begin{align}
  62   0 &= \EMF - I_a R_3 - I_a R_2' - I_a R_1 \\
  63   \frac{\EMF}{I_a} &= R_1 + \frac{R_2}{2} + R_3 \;.
  64 \end{align}
  65
  66 When the switch is in position $b$, the vertical $R_2$ resistor
  67 recieves no current and $R_3$ is shorted.  Kirchoff's loop rule gives
  68 \begin{align}
  69   0 &= \EMF - I_b R_2 - I_b R_1 \\
  70   \frac{\EMF}{I_b} &= R_1 + R_2 \;.
  71 \end{align}
  72
  73 This gives three equations with three unknowns.  Solve however you
  74 like.
  75 \begin{align}
  76  \begin{pmatrix}
  77   \frac{6.00\U{V}}{1.00\E{-3}\U{A}} \\
  78   \frac{6.00\U{V}}{1.20\E{-3}\U{A}} \\
  79   \frac{6.00\U{V}}{2.00\E{-3}\U{A}}
  80  \end{pmatrix}
  81   &=
  82  \begin{pmatrix}
  83   1 & 1 & 1 \\
  84   1 & \frac{1}{2} & 1 \\
  85   1 & 1 & 0
  86  \end{pmatrix}
  87  \begin{pmatrix}
  88   R_1 \\
  89   R_2 \\
  90   R_3
  91  \end{pmatrix} \\
  92  \begin{pmatrix}
  93   R_1 \\
  94   R_2 \\
  95   R_3
  96  \end{pmatrix}
  97   =&
  98  \begin{pmatrix}
  99   1 & 1 & 1 \\
 100   1 & \frac{1}{2} & 1 \\
 101   1 & 1 & 0
 102  \end{pmatrix}^{-1}
 103  \begin{pmatrix}
 104   6.00\U{k\Ohm} \\
 105   5.00\U{k\Ohm} \\
 106   3.00\U{k\Ohm}
 107  \end{pmatrix}
 108   =
 109  \ans{
 110   \begin{pmatrix}
 111     1.00 \\
 112     2.00 \\
 113     3.00
 114   \end{pmatrix}
 115   \U{k\Ohm}
 116  } \;.
 117 \end{align}
 118 \end{solution}