latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem26.67.tex

   1 \begin{problem*}{26.67}
   2 Capacitors $C_1=6.00\U{$\mu$F}$ and $C_2=2.00\U{$\mu$F}$ are charged
   3 as a parallel combination across a $250\U{V}$ battery.  The capacitors
   4 are disconnected from the battery and from each other.  Then they are
   5 connected positive plate to negative plate and negative plate to
   6 positive plate.  Calculate the resulting charge on each capacitor.
   7 \end{problem*}
   8
   9 \begin{solution}
  10 \begin{center}
  11 \begin{asy}
  12 import Circ;
  13
  14 real u = 1cm;
  15 real s = 6u;
  16
  17 TwoTerminal B = battery("$V$");
  18 TwoTerminal C1 = capacitor("$C_1$", draw=false);
  19 TwoTerminal C2 = capacitor("$C_2$", draw=false);
  20 centerto(B, C1, offset=2u);  C1.draw();
  21 centerto(C1, C2, offset=2u);  C2.draw();
  22 wire(B.end, C1.end, rlsq, dist=u/2);
  23 wire(B.end, C2.end, rlsq, dist=u/2);
  24 wire(B.beg, C1.beg, rlsq, dist=-u/2);
  25 wire(B.beg, C2.beg, rlsq, dist=-u/2);
  26 label("$+Q_1$", C1.end, align=dir(70));
  27 label("$-Q_1$", C1.beg, align=dir(110));
  28 label("$+Q_2$", C2.end, align=dir(70));
  29 label("$-Q_2$", C2.beg, align=dir(110));
  30
  31 pair c = C1.mid + (s/2, 0);
  32 draw((c-(u,0)) -- (c+(u,0)), kirchhoff_pen, Arrow);
  33
  34 C1.centerto(B.mid, C2.mid, -s);  C1.draw();
  35 centerto(C1, C2, offset=u, reverse=true);  C2.draw();
  36 label("$+Q_1$", C1.end, align=NW);
  37 label("$-Q_1$", C1.beg, align=SW);
  38 label("$+Q_2$", C2.end, align=SE);
  39 label("$-Q_2$", C2.beg, align=NE);
  40
  41 c = C2.mid + (s/2, 0);
  42 draw((c-(u,0)) -- (c+(u,0)), kirchhoff_pen, Arrow);
  43
  44 C1.shift(s+u);  C1.draw();
  45 C2.shift(s+u);  C2.draw();
  46 wire(C1.end, C2.beg);
  47 wire(C2.end, C1.beg);
  48 label("$+Q_1'$", C1.end, align=NW);
  49 label("$-Q_1'$", C1.beg, align=SW);
  50 label("$-Q_2'$", C2.end, align=SE);
  51 label("$+Q_2'$", C2.beg, align=NE);
  52 \end{asy}
  53 \end{center}
  54
  55 After charging, the charges on the capacitors are
  56 \begin{align}
  57   Q_1 &= C_1 V = 1.50\U{mC} \\
  58   Q_2 &= C_2 V = 500\U{$\mu$C} \;.
  59 \end{align}
  60
  61 After disconnecting the battery, flipping $C_2$, and reconnecting, the
  62 total charge on one side is $Q_t=Q_2+(-Q_2)=1.00\U{mC}$.  This charge
  63 is divided into $Q_1'$ and $Q_2'$ such that
  64 \begin{align}
  65   Q_t &= Q_1' + Q_2' \\
  66   V_1' = \frac{Q_1'}{C_1} &= V_2' = \frac{Q_2'}{C_2} \\
  67   Q_2' &= Q_1'\frac{C_2}{C_1} \\
  68   Q_1' + Q_1'\frac{C_2}{C_1} &= Q_t \\
  69   Q_1' &= \frac{Q_t}{1+\frac{C_2}{C_1}} = \ans{750.0\U{$\mu$C}} \\
  70   Q_2' &=  Q_1'\frac{C_2}{C_1}
  71     = \frac{Q_t}{\frac{C_1}{C_2} + 1} = \ans{250.0\U{$\mu$C}}
  72 \end{align}
  73 \end{solution}