latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem26.18.tex

   1 \begin{problem*}{26.18}
   2 Find \Part{a} the equivalent capacitance of the capacitors in
   3 Figure~P26.18, \Part{b} the charge on each capacitor, and \Part{c} the
   4 potential difference across each capacitor.
   5 \begin{center}
   6 %    +-6uF-+
   7 %  +-+     +-+
   8 %  | +-2uF-+ |
   9 % 8uF       8uF
  10 %  |   9V    |
  11 %  +---|i----+
  12 \begin{asy}
  13 import Circ;
  14
  15 real u = 1cm;
  16
  17 TwoTerminal B = battery((0,0), ang=180, "$V$", "9.00\U{V}");
  18 TwoTerminal C1 = capacitor("$C_1$", "8.00\U{$\mu$F}", draw=false);
  19 TwoTerminal C2 = capacitor("$C_2$", "6.00\U{$\mu$F}", draw=false);
  20 TwoTerminal C3 = capacitor("$C_3$", "2.00\U{$\mu$F}", draw=false);
  21 TwoTerminal C4 = capacitor("$C_4$", "8.00\U{$\mu$F}", draw=false);
  22
  23 centerto(B, C3, offset=3u, reverse=true);  C3.draw();
  24 centerto(C3, C2, offset=2u);  C2.draw();
  25 pair a = (B.end.x, (C2.beg.y + C3.beg.y)/2);
  26 pair b = (B.beg.x, a.y);
  27 C1.centerto(B.end, a, offset=2u);  C1.draw();
  28 C4.centerto(B.beg, b, offset=-2u);  C4.draw();
  29
  30 a = (a.x - u, a.y);  // shift to split x difference between C1.end and B.end
  31 b = (b.x + u, b.y);
  32
  33 wire(B.end, C1.beg, rlsq);
  34 wire(C1.end, a, udsq);
  35 wire(a, C2.beg, udsq);
  36 wire(a, C3.beg, udsq);
  37 dot(a);
  38 wire(C2.end, b, rlsq);
  39 wire(C3.beg, b, rlsq);
  40 wire(b, C4.end, rlsq);
  41 dot(b);
  42 wire(C4.beg, B.beg, udsq);
  43 \end{asy}
  44 \end{center}
  45 \end{problem*}
  46
  47 \begin{solution}
  48 \Part{a}
  49 Bundling down equivalent capacitances,
  50 \begin{center}
  51 \begin{asy}
  52 import Circ;
  53
  54 real u = 1cm;
  55
  56 TwoTerminal B = battery((0,0), ang=180, "$V$");
  57 TwoTerminal C1 = capacitor("$C_1$", draw=false);
  58 TwoTerminal C23 = capacitor("$C_{23}$", draw=false);
  59 TwoTerminal C4 = capacitor("$C_4$", draw=false);
  60 centerto(B, C23, offset=2u, reverse=true);  C23.draw();
  61 pair a = (B.end.x, C23.beg.y);
  62 pair b = (B.beg.x, a.y);
  63 C1.centerto(B.end, a, offset=u);  C1.draw();
  64 C4.centerto(B.beg, b, offset=-u);  C4.draw();
  65 wire(B.end, C1.beg, rlsq);
  66 wire(C1.end, C23.beg, udsq);
  67 wire(C23.end, C4.end, rlsq);
  68 wire(C4.beg, B.beg, udsq);
  69
  70 B.shift((6u, 0));
  71 B.draw();
  72 TwoTerminal C1234 = capacitor("$C_{1234}$", draw=false);
  73 centerto(B, C1234, offset=2u, reverse=true);  C1234.draw();
  74 wire(B.end, C1234.beg, rlsq, dist=-u/2);
  75 wire(B.beg, C1234.end, rlsq, dist=+u/2);
  76
  77 pair c = ((C4.mid.x + B.end.x - u/2)/2, C4.mid.y);
  78 draw((c-(u,0)) -- (c+(u,0)), kirchhoff_pen, Arrows);
  79 \end{asy}
  80 \end{center}
  81 $C_{23}$ comes from $C_2$ and $C_3$ in parallel, so the equivalent
  82 capacitance is
  83 \begin{equation}
  84   C_{23} = C_2 + C_3 = (6.00 + 2.00)\U{$\mu$F} = 8.00\U{$\mu$F} \;.
  85 \end{equation}
  86 $C_{1234}$ comes from $C_1$, $C_{23}$, and $C_4$ in series, so the
  87 equivalent capacitance is
  88 \begin{equation}
  89   C_{1234} = \p({\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} + \frac{1}{C_4}})^{-1}
  90     = \frac{8.00\U{$\mu$F}}{3} = \ans{2.67\U{$\mu$F}} \;.
  91 \end{equation}
  92
  93 \Part{b}
  94 The equivalent capacitor has the total battery voltage across itself,
  95 so it carries a charge of
  96 \begin{equation}
  97   Q_{1234} = C_{1234} V = (2.67\U{$\mu$F}) \cdot (9.00\U{V})
  98     = 24.0\U{$\mu$C} \;.
  99 \end{equation}
 100 Because $C_1$, $C_{23}$, and $C_3$ are in series, they each have the
 101 same $Q$ as the equivalent capacitor.
 102 \begin{equation}
 103   Q_1 = Q_{23} = Q_3 = Q_{1234} = \ans{24.0\U{$\mu$C}} \;.
 104 \end{equation}
 105 The voltage across $C_{23}$ is therefore
 106 \begin{equation}
 107   V_{23} = \frac{Q_{23}}{C_{23}} = \frac{24.0\U{$\mu$C}}{8.00\U{$\mu$F}}
 108     = 3.00\U{V} \;.
 109 \end{equation}
 110 $C_2$ and $C_3$ are in parallel, so they each have the total $V_{23}$
 111 voltage.
 112 \begin{align}
 113   Q_2 &= C_2 V_{23} = 6.00\U{$\mu$F} \cdot 3.00\U{V} = \ans{18.0\U{$\mu$C}} \\
 114   Q_3 &= C_3 V_{23} = 2.00\U{$\mu$F} \cdot 3.00\U{V} = \ans{6.00\U{$\mu$C}} \;.
 115 \end{align}
 116 Note that $Q_2+Q_3=Q_{23}$, which must be true because charge is conserved.
 117
 118 \Part{c}
 119 During \Part{b}, we already found $\ans{V_{23}=V_2=V_3=3.00\U{V}}$.
 120 Using the charges on $C_1$ and $C_4$, we find
 121 \begin{align}
 122   V_1 &= \frac{Q_1}{C_1} = \frac{24.0\U{$\mu$C}}{8.00\U{$\mu$F}}
 123     = \ans{3.00\U{V}} \\
 124   V_4 &= \frac{Q_4}{C_4} = \frac{24.0\U{$\mu$C}}{8.00\U{$\mu$F}}
 125     = \ans{3.00\U{V}} \;.
 126 \end{align}
 127 \end{solution}