latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem26.16.tex

   1 \begin{problem*}{26.16}
   2 Given a $2.50\U{$\mu$F}$ capacitor, a $6.25\U{$\mu$F}$ capacitor, and
   3 a $6.00\U{V}$ battery, find the charge on each capacitor if you
   4 connect them \Part{a} in series across the battery and \Part{b} in
   5 parallel across the battery.
   6 \end{problem*}
   7
   8 \begin{solution}
   9 \begin{center}
  10 \begin{asy}
  11 import Circ;
  12
  13 real u = 1cm;
  14
  15 TwoTerminal C1 = capacitor((0,0), ang=0, "$C_1$", "2.50\U{$\mu$F}");
  16 TwoTerminal C2 = capacitor(C1.end + (u,0), ang=0, "$C_2$", "6.25\U{$\mu$F}");
  17 TwoTerminal B = battery("$V$", "6.00\U{V}", draw=false);
  18 B.centerto(C1.beg, C2.end, offset=2u);
  19 B.draw();
  20 wire(B.beg, C1.beg, rlsq);
  21 wire(B.end, C2.end, rlsq);
  22 wire(C1.end, C2.beg);
  23
  24 label("\Part{a}", B.mid + (0, -5u));
  25
  26 B.shift((4u, 0));
  27 B.draw();
  28 centerto(B, C1, offset=-2u);
  29 C1.draw();
  30 centerto(B, C2, offset=-4u);
  31 C2.draw();
  32 wire(B.beg, C1.beg, rlsq, dist=-u/2);
  33 wire(B.beg, C2.beg, rlsq, dist=-u/2);
  34 wire(B.end, C1.end, rlsq, dist=u/2);
  35 wire(B.end, C2.end, rlsq, dist=u/2);
  36
  37 label("\Part{b}", B.mid + (0, -5u));
  38 \end{asy}
  39 \end{center}
  40
  41 \Part{a}
  42 The net capacitance of the two capacitors in series is
  43 \begin{equation}
  44   C = \p({\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}})^{-1}
  45     = 1.79\U{$\mu$F} \;.
  46 \end{equation}
  47 The equivalent capacitor has the total battery voltage across itself,
  48 so it carries a charge of
  49 \begin{equation}
  50   Q = CV = 1.79\U{$\mu$F} \cdot 6.00\U{V} = \ans{10.7\U{$\mu$C}} \;.
  51 \end{equation}
  52 Because $C_1$ and $C_2$ are in series, they each have the same $Q$ as
  53 the equivalent capacitor.
  54
  55 \Part{b}
  56 When the capacitors are in parallel, they each have the total battery
  57 voltage, so
  58 \begin{align}
  59   Q_1 &= C_1 V = 2.50\U{$\mu$F} \cdot 6.00\U{V} = \ans{15.0\U{$\mu$C}} \\
  60   Q_2 &= C_2 V = 6.25\U{$\mu$F} \cdot 6.00\U{V} = \ans{37.5\U{$\mu$C}} \;.
  61 \end{align}
  62 \end{solution}