latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem26.04.tex

   1 \begin{problem*}{26.4}
   2 An air-filled parallel-plate capacitor has plates of area
   3 $2.30\U{cm$^2$}$ separated by $1.50\U{mm}$.  \Part{a} Find the value
   4 of its capacitance.  The capacitor is connected to a $12.0\U{V}$
   5 battery.  \Part{b} What is the charge on the capacitor?  \Part{c} What
   6 is the magnitude of the uniform electric field between the plates?
   7 \end{problem*}
   8
   9 \begin{solution}
  10 \Part{a}
  11 Using Gauss' law, we can find the electric field from an infinite
  12 plate with charge density $\sigma$.
  13 \begin{align}
  14   \Phi_E &= \oint_S \vect{E}\cdot\vect{dA} = 2EA \\
  15     &= \frac{q_\text{in}}{\kappa\varepsilon_0}
  16      = \frac{\sigma A}{\kappa\varepsilon_0} \\
  17    E &= \frac{\sigma}{2\kappa\varepsilon_0} \;.
  18 \end{align}
  19
  20 The capacitance of a ciruit element is defined by $C\equiv q/V$, where
  21 the potential difference $V$ is measured with $+q$ on one side of the
  22 element and $-q$ on the other.  The electric field between the plates
  23 will be
  24 \begin{equation}
  25   E = 2\frac{\sigma}{2\kappa\varepsilon_0}
  26     = \frac{q}{\kappa\varepsilon_0 A} \;,
  27 \end{equation}
  28 and the potential difference is
  29 \begin{equation}
  30   V = Ed = \frac{qd}{\kappa\varepsilon_0 A} \;.
  31 \end{equation}
  32
  33 Now that we have a formula for $V(q)$, we can plug into the capacitor
  34 equation to find the capacitance.
  35 \begin{equation}
  36   C \equiv \frac{q}{V} = \frac{\kappa\varepsilon_0 A}{d}
  37     = \frac{1.00 \cdot 8.85\E{-12}\U{C$^2$/N$\cdot$m$^2$}
  38                  \cdot 2.30\E{-4}\U{m$^2$}}
  39            {1.50\E{-3}\U{m}}
  40     = \ans{1.36\E{-12}\U{F}} = \ans{1.36\U{pF}} \;.
  41 \end{equation}
  42 As you'd expect, $C$ increases with increasing $A$, and decreases with
  43 increasing $d$.
  44
  45 \Part{b}
  46 Just plugging into the capacitance equation,
  47 \begin{equation}
  48   q = CV = 1.36\E{-12}\U{F} \cdot 12.0\U{V}
  49     = \ans{1.63\E{-11}\U{C}} = \ans{16.3\U{pC}} \;.
  50 \end{equation}
  51
  52 \Part{c}
  53 Plugging into my earlier equation for electric field,
  54 \begin{equation}
  55   E = \frac{V}{d} = \frac{12.0\U{V}}{1.50\E{-3}\U{m}}
  56     = \ans{8.00\U{kV/m}} \;.
  57 \end{equation}
  58 \end{solution}