latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem24.13.tex

   1 \begin{problem*}{24.13}
   2 In the air over a particular region at an altitude of $500\U{m}$ above
   3 the ground, the electric field is $120\U{N/C}$ directed downward.  At
   4 $600\U{m}$ above the ground, the electric field is $100\U{N/C}$
   5 downward.  What is the average volume charge density in the layer of
   6 air between these two elevations?  Is it positive or negative?
   7 \end{problem*}
   8
   9 \begin{solution}
  10 Lets take a vertical cylinder of this air as our gaussian surface.
  11 Because the electric field is directed downward, there is no flux
  12 through the walls of the cylinder.  All the flux crosses the cylinder
  13 at the end caps.  If the area of the end cap is $A$, that flux is
  14 \begin{equation}
  15   \Phi_E \equiv \oint_S \vect{E}\cdot\vect{\dd A} = E_{500}A - E_{600}A \;,
  16 \end{equation}
  17 where $E_{500}=120\U{N/C}$ and $E_{600}=100\U{N/C}$.  From Gauss's
  18 law,
  19 \begin{align}
  20   \Phi_E &= \frac{q_\text{in}}{\varepsilon_0} = (E_{500}-E_{600})A \\
  21   q_\text{in} &= (E_{500}-E_{600})A\varepsilon_0 \;.
  22 \end{align}
  23 This gives an average volume charge density of
  24 \begin{equation}
  25   \rho \equiv \frac{q_\text{in}}{V}
  26     = \frac{(E_{500}-E_{600})A\varepsilon_0}{A(h_{600}-h_{500})}
  27     = \frac{E_{500}-E_{600}}{h_{600}-h_{500}}\varepsilon_0
  28     = \frac{20\U{N/C}}{100\U{m}}\cdot8.85\E{-12}\U{C$^2$/N$\cdot$m$^2$}
  29     = \ans{1.77\E{-12}\U{C/m$^3$}} \;.
  30 \end{equation}
  31 Because there is a net flux out of the gaussian cylinder, the net
  32 charge contained by the cylinder is positive.
  33 \end{solution}