latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem23.10.tex

   1 \begin{problem*}{23.10}
   2 Two small metallic spheres, each of mass $m=0.200\U{g}$, are suspended
   3 as pendulums by light strings of length $L$ as shown if Figure~P23.10.
   4 The spheres are given the same electric charge of $7.20\U{nC}$, and
   5 they come to equilibrium when each string is at an angle of
   6 $\theta=5.00\dg$ with the vertical.  How long are the strings?
   7 \begin{center}
   8 \begin{asy}
   9 import Mechanics;
  10 import ElectroMag;
  11
  12 real theta = 20; // 5;  Exaggerated for clarity
  13 real L = 2cm;
  14
  15 real x = L*Sin(theta);
  16 real y = -L*Cos(theta);
  17
  18 draw((x,y)--(0,0)--(-x,y));
  19 draw((0,y)--(0,0), dashed);
  20 dot((0,0));
  21
  22 Angle t = Angle((0,y), (0,0), (x,y), "$\theta$");
  23 t.draw();
  24
  25 Charge a = pCharge((-x,y));
  26 Charge b = pCharge((x,y));
  27 a.draw(); b.draw();
  28 \end{asy}
  29 \end{center}
  30 \end{problem*}
  31
  32 \begin{solution}
  33 By symmetry the two spheres will be at the same height, so the
  34 distance between them is $2L\sin(\theta)$ and we can draw a free body
  35 diagram for the right-hand sphere:
  36 \begin{center}
  37 \begin{asy}
  38 import Mechanics;
  39
  40 real theta = 5;
  41 real E_mag = 0.1cm;
  42
  43 Vector T = Vector((0,0), mag=E_mag/Sin(theta), dir=90+theta, "$T$");
  44 Vector G = Vector((0,0), mag=E_mag/Tan(theta), dir=-90, "$mg$");
  45 Vector E = Vector((0,0), mag=3*E_mag, dir=0, "$F_E$");
  46
  47 T.draw();
  48 G.draw();
  49 E.draw();
  50 dot((0,0));
  51 \end{asy}
  52 \end{center}
  53
  54 Because the system is in equilibrium, the net force on the sphere must
  55 be zero.
  56 \begin{align}
  57   0 &= \sum F_y = T\cos(\theta) - mg \\
  58   T &= \frac{mg}{\cos(\theta)} \\
  59   0 &= \sum F_x = \frac{kq^2}{[2L\sin(\theta)]^2} - T\sin(\theta) \\
  60   \frac{kq^2}{[2L\sin(\theta)]^2} &= T\sin(\theta)
  61     = \frac{mg}{\cos(\theta)}\sin(\theta) = mg\tan(\theta) \\
  62   [2L\sin(\theta)]^2 &= \frac{kq^2}{mg\tan(\theta)} \\
  63   2L\sin(\theta) &= \sqrt{\frac{kq^2}{mg\tan(\theta)}}
  64     = q\sqrt{\frac{k}{mg\tan(\theta)}} \\
  65   L &= \frac{q}{2\sin(\theta)}\sqrt{\frac{k}{mg\tan(\theta)}}
  66     = \ans{29.9\U{cm}}
  67 \end{align}
  68 \end{solution}