latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem10.44.tex

   1 \begin{problem*}{10.44}
   2 Consider the system shown in Figure~P10.44 with $m_1=20.0\U{kg}$,
   3 $m_2=12.5\U{kg}$, $R=0.200\U{m}$, and the mass of the pulley
   4 $M=5.00\U{kg}$.  Object $m_2$ is resting on the floor, and object
   5 $m_1$ is $4.00\U{m}$ above the floor when it is released from rest.
   6 The pulley axis is frictionless.  The cord is light, does not stretch,
   7 and does not slip on the pulley.  \Part{a} Calculate the time interval
   8 required for $m_1$ to hit the floot.  \Part{b} How would your answer
   9 change if the pulley were massless?
  10 \end{problem*}
  11
  12 \begin{solution}
  13 \Part{a}
  14 Let the positive direction to be the direction of motion (down for
  15 $m_1$, up for $m_2$, and counter clockwise for the pulley).  Balancing
  16 forces and torques on each object we have
  17 \begin{align}
  18   \sum F_1 &= m_1 g - T_1 = m_1 a \\
  19   \sum F_2 &= T_2 - m_2 g = m_2 a \\
  20   \sum \tau &= T_1 R - T_2 R = I\alpha
  21     = \p({\frac{1}{2}MR^2})\cdot\frac{a}{R}
  22     = \frac{MRa}{2} \;,
  23 \end{align}
  24 where we used the moment of interia for a solid cylinder
  25 $I=\frac{1}{2}MR^2$ and the relationship between linear and angular
  26 acceleration $a = r\alpha$.  Now we have three equations for our three
  27 unknowns ($a$, $T_1$, and $T_2$) and we can solve for acceleration.
  28 \begin{align}
  29   T_1 &= m_1 (g-a) \\
  30   T_2 &= m_2 (g+a) \\
  31   T_1 - T_2 &= \frac{Ma}{2} \\
  32   m_1 g - m_1 a - m_2 g - m_2 a &= \frac{Ma}{2} \\
  33   (m_1 - m_2)g - (m_1 + m_2)a &= \frac{M}{2}a \\
  34   (m_1 - m_2)g &= a \p({\frac{M}{2} + m_1 + m_2}) \\
  35   a &= g\frac{m_1 - m_2}{\frac{M}{2} + m_1 + m_2} \;.
  36 \end{align}
  37
  38 The time-to-floor is the a constant acceleration problem.
  39 \begin{align}
  40   h &= \frac{1}{2} a t^2 \\
  41   t^2 &= \frac{2h}{a} \\
  42   t &= \sqrt{\frac{2h}{a}}
  43     = \sqrt{\frac{2h}{g}\frac{\frac{M}{2} + m_1 + m_2}{m_1 - m_2}}
  44     = \ans{1.95\U{s}} \;.
  45 \end{align}
  46
  47 \Part{b}
  48 If the mass of the pulley was zero,
  49 \begin{equation}
  50   t = \sqrt{\frac{2h}{g}\frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}}
  51     = \ans{1.88\U{s}} \;,
  52 \end{equation}
  53 which is slightly faster than the original time.
  54 \end{solution}