latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem08.15.tex

   1 \begin{problem*}{8.15}
   2 A block of mass $m=2.00\U{kg}$ is attached to a spring of force
   3 constant $k=500\U{N/m}$ as shown in Figure~P8.15.  The block is pulled
   4 to a position $x_i=5.00\U{cm}$ to the right of equilibrium and
   5 released from rest.  Find the speed the block has as it passes through
   6 equilibrium if \Part{a} the horizontal surface is frictionless
   7 and \Part{b} the coefficient of friction between the block and surface
   8 is $\mu_k=0.350$.
   9 % wall -- spring -- mass
  10 \end{problem*}
  11
  12 \begin{solution}
  13 \Part{a}
  14 Conserving energy, we just have to worry about kinetic and spring
  15 potential energies (because the surface is horizontal, the
  16 gravitational potential energy does not change).
  17 \begin{align}
  18   E_i &= E_f \\
  19   K_i + U_i &= K_f + U_f \\
  20   0 + \frac{1}{2} k x_i^2 &= \frac{1}{2} m v_f^2 + 0 \\
  21   v_f^2 &= \frac{kx_i^2}{m} \\
  22   v_f &= \pm\sqrt{\frac{kx_i^2}{m}}
  23     = \sqrt{\frac{kx_i^2}{m}} \\
  24     &= \sqrt{\frac{500\U{N/m}\cdot(5.00\E{-2}\U{m})^2}{2.00\U{kg}}}
  25     = \ans{0.791\U{m/s}}
  26 \end{align}
  27 where we dropped the $\pm$ because we only want the magnitude of the
  28 velocity, not its direction.
  29
  30 \Part{b}
  31 With friction, there is an additional
  32 \begin{equation}
  33   E_\text{int} = \vect{F}\cdot\vect{x} = \mu_k N x_i = \mu_k mg x_i
  34 \end{equation}
  35 going into internal energy (heat), so our conservation energy formula
  36 looks like
  37 \begin{align}
  38   E_i &= E_f \\
  39   K_i + U_i &= K_f + U_f + E_\text{int} \\
  40   0 + \frac{1}{2} k x_i^2 &= \frac{1}{2} m v_f^2 + 0 + \mu_k mg x_i \\
  41   v_f^2 &= \frac{kx_i^2}{m} - 2\mu_k g x_i\\
  42   v_f &= \pm\sqrt{\frac{kx_i^2}{m} - 2\mu_k g x_i}
  43     = \sqrt{\frac{kx_i^2}{m} - 2\mu_k g x_i} \\
  44     &= \sqrt{\frac{500\U{N/m}\cdot(5.00\E{-2}\U{m})^2}{2.00\U{kg}}
  45              - 2\cdot0.350\cdot9.80\U{m/s$^2$}\cdot5.00\E{-2}\U{m}}
  46     = \ans{0.531\U{m/s}} \;.
  47 \end{align}
  48 To calculate the energy lost to friction, we assumed that the block
  49 would slide all the way to the equilibrium position and not grind to a
  50 halt somewhere in the middle.  It's ok to assume that though, because
  51 if we had guessed wrong and the block had stopped early, we would have
  52 ended up with an imaginary velocity (from a negative sign inside the
  53 square root).  Because we got a positive number inside the square
  54 root, we know the block did, in fact, make it to the equilibrium
  55 position.
  56 \end{solution}