latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem06.08.tex

   1 \begin{problem*}{6.8}
   2 Consider a conical pendulum (Fig.~P6.8) with a bob of mass
   3 $m=80.0\U{kg}$ on a string of length $L=10.0\U{m}$ that makes an angle
   4 of $\theta=5.00\dg$ with the vertical.  Determine \Part{a} the
   5 horizontal and vertical components of the force exerted by the string
   6 on the pendulum and \Part{b} the radial acceleration of the bob.
   7 \begin{center}
   8 \begin{asy}
   9 import three;
  10
  11 real u = 1cm;
  12
  13 draw((0,0,2u)--(0,0,0), dashed);
  14 draw((0,0,2u)--(0,u,0));
  15 draw(scale3(u)*unitcircle3);
  16 dot((0,0,2u));
  17 dot((0,u,0));
  18 \end{asy}
  19 \end{center}
  20 \end{problem*}
  21
  22 \begin{solution}
  23 \Part{a}
  24 Drawing a free body diagram for the bob
  25 \begin{center}
  26 \begin{asy}
  27 import Mechanics;
  28
  29 real u = 1cm;
  30 real theta = 25;
  31 real mg = 1.3u;
  32
  33 draw((0,0)--(0, mg));
  34 Angle t = Angle(dir(90), (0,0), dir(90+theta), "$\theta$");
  35 t.draw();
  36 Vector T = Force((0,0), mag=mg/Cos(theta), dir=(90+theta), "$T$");
  37 T.draw();
  38 Vector G = Force((0,0), mag=mg, dir=(-90), "$mg$");
  39 G.draw();
  40 dot((0,0));
  41
  42 draw_ijhat((.5u,0), idir=0);
  43 \end{asy}
  44 \end{center}
  45
  46 The bob does not move up or down, so the sum of forces in the vertical
  47 direction must be zero.
  48 \begin{align}
  49   0 &= \sum F_y = T_y - mg \\
  50   T\cos(\theta) = T_y &= mg
  51     = 80.0\U{kg}\cdot9.80\U{m/s$^2$} = \ans{784\U{N}} \\
  52   T &= \frac{mg}{\cos(\theta)} \;,
  53 \end{align}
  54 where I've marked the vertical component of the string tension.  The
  55 horizontal (radial) component is given by
  56 \begin{equation}
  57   T_x = -T\sin(\theta)
  58     = -\frac{mg\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
  59     = -mg\tan(\theta) = \ans{-68.6\U{N}} \;.
  60 \end{equation}
  61
  62 \Part{b}
  63 The radial acceleration is given by Newton's second law
  64 \begin{align}
  65   F_r &= m a_r \\
  66   a_r &= \frac{F_r}{m} = \frac{T_x}{m}
  67     = \frac{-mg\tan(\theta)}{m}
  68     = -g\tan(\theta)
  69     = -9.80\U{m/s$^2$}\cdot\tan(5.00\dg)
  70     = \ans{0.857\U{m/s$^2$}} \;.
  71 \end{align}
  72 \end{solution}