latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem05.47.tex

   1 \begin{problem*}{5.47}
   2 Two blocks connected by a rope of negligable mass are being dragged by
   3 a horizontal force (Fig.~P5.47).  Suppose $F=68.0\U{N}$,
   4 $m_1=12.0\U{kg}$, $m_2=18.0\U{kg}$, and the coefficient of kinetic
   5 friction between each block and the surface is $0.100$.  \Part{a} Draw
   6 a free-body diagram for each block. Determine \Part{b} the
   7 acceleration of the system and \Part{c} the tension $T$ in the rope.
   8 \begin{center}
   9 \begin{asy}
  10 import Mechanics;
  11
  12 real u = 1cm;
  13 real h = u;   // height of blocks
  14 real a = u;   // width of blocks
  15 real d = 2a;  // distance between block centers
  16 real f = a;   // magnitude of force
  17
  18 Surface s = Surface((-0.7a,0), (d+0.7a+f,0));
  19 s.draw();
  20 Block b1 = Block((0, h/2), width=a, height=h, "$m_1$");
  21 Block b2 = Block((d, h/2), width=a, height=h, "$m_2$");
  22 draw(b1.center -- b2.center);  // rope
  23 label("$T$", (b1.center+b2.center)/2, N);
  24 b1.draw();
  25 b2.draw();
  26 Vector F = Force(b2.center+(a/2,0), mag=f, dir=0, "$\vect{F}$");
  27 F.draw();
  28 \end{asy}
  29 \end{center}
  30 \end{problem*}
  31
  32 \begin{solution}
  33 \Part{a}
  34 \begin{center}
  35 \begin{asy}
  36 import Mechanics;
  37
  38 real u = 0.05cm;
  39 real vscale = 0.1;  // rescale vertical forces
  40 real f = 68.0u;
  41 real g = 9.8u;
  42 real m1 = 12;
  43 real m2 = 18;
  44 real mu = 0.1;
  45 real t = f*m1/(m1+m2);
  46
  47 Vector G = Force((0,0), mag=m1*g*vscale, dir=-90,
  48     L=Label("$m_1g$", position=EndPoint, align=S));
  49 Vector N = Force((0,0), mag=m1*g*vscale, dir=90,
  50     L=Label("$\vect{N}_1$", position=EndPoint, align=NE));
  51 Vector T = Force((0,0), mag=t, dir=0,
  52     L=Label("$T$", position=EndPoint, align=NE));
  53 Vector F = Force((0,0), mag=mu*m1*g, dir=180,
  54     L=Label("$\vect{F}_{f1}$", position=EndPoint, align=W));
  55
  56 G.draw();
  57 N.draw();
  58 T.draw();
  59 F.draw();
  60 dot("$m_1$", (0,0), NE);
  61 \end{asy}
  62 \hspace{1cm}
  63 \begin{asy}
  64 import Mechanics;
  65
  66 real u = 0.05cm;
  67 real vscale = 0.1;  // rescale vertical forces
  68 real f = 68.0u;
  69 real g = 9.8u;
  70 real m1 = 12;
  71 real m2 = 18;
  72 real mu = 0.1;
  73 real t = f*m1/(m1+m2);
  74 real dy=1mm;
  75
  76 Vector G = Force((0,0), mag=m2*g*vscale, dir=-90,
  77     L=Label("$m_2g$", position=EndPoint, align=S));
  78 Vector N = Force((0,0), mag=m2*g*vscale, dir=90,
  79     L=Label("$\vect{N}_2$", position=EndPoint, align=NE));
  80 Vector E = Force((0,0), mag=f, dir=0,
  81     L=Label("$\vect{F}$", position=EndPoint, align=NE));
  82 Vector T = Force((0,dy), mag=t, dir=180,
  83     L=Label("$T$", position=EndPoint, align=NW));
  84 Vector F = Force((0,-dy), mag=mu*m2*g, dir=180,
  85     L=Label("$\vect{F}_{f2}$", position=EndPoint, align=SW));
  86
  87 G.draw();
  88 N.draw();
  89 E.draw();
  90 T.draw();
  91 F.draw();
  92 dot("$m_2$", (0,0), NE);
  93 \end{asy}
  94 \end{center}
  95
  96 \Part{b}
  97 Because the string does not stretch, the blocks will have the same
  98 acceleration, and can be treated as a single block.
  99 \begin{align}
 100   F - \mu (m_1 + m_2) g &= (m_1 + m_2)a \\
 101   a + \mu g &= \frac{F}{m_1 + m_2} \\
 102   a &= \frac{F}{m_1 + m_2} - \mu g \\
 103     &= \frac{68.0\U{N}}{12.0\U{kg}+18.0\U{kg}}
 104        - 0.100\cdot 9.80\U{m/s$^2$}
 105     = \ans{1.29\U{m/s$^2$}}
 106 \end{align}
 107
 108 \Part{c}
 109 We can use the horizontal force on $m_1$ to calculate the tension
 110 \begin{align}
 111   T - \mu m_1 g &= m_1 a \\
 112   T &= m_1 (\mu g + a)
 113     = m_1 \frac{F}{m_1 + m_2}
 114     = F \frac{m_1}{m_1 + m_2} \\
 115     &= 68.0\U{N} \frac{12.0\U{kg}}{12.0\U{kg} + 18.0\U{kg}}
 116     = \ans{27.2\U{N}}
 117 \end{align}
 118 \end{solution}