latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem05.25.tex

   1 \begin{problem*}{5.25}
   2 A bag of cement whose weight is $F_g$ hangs in equilibrium from three
   3 wires shown in Figure~P5.24.  Two of the wires make angles
   4 $\theta_1=60.0\dg$ and $\theta_2=40.0\dg$ with the horizontal.
   5 Assuming the system is in equilibrium, show that the tension in the
   6 left-hand wire is
   7 \begin{equation}
   8   T_1 = \frac{F_g \cos\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)}
   9 \end{equation}
  10 \begin{center}
  11 \begin{asy}
  12 import Mechanics;
  13
  14 real u = 1cm;
  15
  16 real theta1 = 60;
  17 real theta2 = 40;
  18 real d = 3u;      // contact point seperation
  19 real a = u;       // block side length
  20
  21 pair c1 = (0,0);       // left contact point
  22 pair c2 = c1 + (d,0);  // right contact point
  23 pair c3 = extension(c1, c1+dir(-theta1),
  24                     c2, c2+dir(180+theta2));
  25
  26 Surface s = Surface(c2+(0.2d,0), c1-(0.2d,0));
  27 Angle a1 = Angle(c2, c1, c3, "$\theta_1$");
  28 Angle a2 = Angle(c1, c2, c3, "$\theta_2$");
  29 Block cement = Block(c3-(0, a), width=a, height=a, "$F_g$");
  30
  31 a1.draw();
  32 a2.draw();
  33 draw(c1 -- c3 -- c2);
  34 draw(c3 -- cement.center);
  35 s.draw();
  36 cement.draw();
  37
  38 label("$T_1$", (c1+c3)/2, SW);
  39 label("$T_2$", (c2+c3)/2, SE);
  40 label("$T_3$", c3-(0,a/4), E);
  41 \end{asy}
  42 \end{center}
  43 \end{problem*}
  44
  45 \begin{solution}
  46 Balancing forces on the cement bag, $T_3=F_g$.
  47
  48 Balancing forces on the wire joint is a bit mor complicated and
  49 deserves a free body diagram.
  50 \begin{center}
  51 \begin{asy}
  52 import Mechanics;
  53
  54 real u = 1cm;
  55
  56 real theta1 = 60;
  57 real theta2 = 40;
  58 real T3 = 2u;
  59 real T1 = T3 * Cos(theta2)/Sin(theta1+theta2);
  60 real T2 = T3 * Cos(theta1)/Sin(theta1+theta2);
  61
  62 Angle a1 = Angle(dir(180-theta1), (0,0), (-1,0), "$\theta_1$");
  63 Angle a2 = Angle(dir(theta2), (0,0), (1,0), "$\theta_2$");
  64 Angle A1 = Angle(dir(180-theta1), (0,0), dir(180+theta2), radius=10mm,
  65     "$\theta_1+\theta_2$");
  66 Angle A3 = Angle((0,-1), (0,0), dir(-90+theta2), "$\theta_2$");
  67
  68 Vector F1 = Force((0,0), mag=T1, dir=180-theta1, "$\vect{F}_1$");
  69 Vector F2 = Force((0,0), mag=T2, dir=theta2,
  70     L=Label("$\vect{F}_2$", position=EndPoint, align=N));
  71 Vector F3 = Force((0,0), mag=T3, dir=-90, "$\vect{F}_3$");
  72
  73 a1.draw();
  74 a2.draw();
  75 A1.draw();
  76 A3.draw();
  77 draw((-7mm,0)--(7mm,0));
  78 draw((12mm*dir(-90+theta2))--(0,0)--(12mm*dir(180+theta2)));
  79 F1.draw();
  80 F2.draw();
  81 F3.draw();
  82 dot((0,0));
  83
  84 draw_ijhat((1.5u,-.5u), theta2);
  85 \end{asy}
  86 \end{center}
  87 Where we've chosen a coordinate system such that $\vect{F}_2$ has no
  88 $y$ component.
  89
  90 Balancing forces in the $y$ direction,
  91 \begin{align}
  92   0 &= T_1 \sin(\theta_1+\theta_2) - T_3\cos(\theta_2) \\
  93   T_1 &= T_3\frac{\cos(\theta_2)}{\sin(\theta_1+\theta_2)}
  94     = F_g\frac{\cos(\theta_2)}{\sin(\theta_1+\theta_2)} \;,
  95 \end{align}
  96 which is what we set out to show.
  97 \end{solution}