latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem03.43.tex

   1 \begin{problem*}{3.43}
   2 You are standing on the ground at the origin of a coordinate system.
   3 An airplane flies over you with constant velocity parallel to the $x$
   4 axis at a fixed height of $7.60\E{3}\U{m}$.  At time $t=0$, the
   5 airplane is directly above you so that the vector leading from you to
   6 it is $\vect{P}_0=7.60\E{3}\jhat\U{m}$.  At $t=30.0\U{s}$, the
   7 position vector leading from you to the airplane is
   8 $\vect{P}_{30}=(8.04\E{3}\ihat+7.60\E{3}\jhat)\U{m}$ as suggested in
   9 Figure~P3.43.  Determine the magnitude and orientation of the
  10 airplane's position vector at $t=45.0\U{s}$.
  11 \begin{center}
  12 \begin{asy}
  13 import Mechanics;
  14
  15 real u = 1.3cm;
  16 real h = 1u;
  17 real d = 8.04/7.6*h;
  18 real dx = 0.2u;
  19
  20 draw((-dx,h)--(d+dx,h), dashed);
  21 Surface s = Surface((-dx,0), (d+dx,0));
  22 s.draw();
  23
  24 Vector A = Vector((0,0), mag=h, dir=90,
  25     L=Label("$\vect{R}_0$", position=EndPoint, align=W));
  26 A.draw();
  27 Vector B = Vector((0,0), mag=length((d,h)), dir=degrees((d,h)),
  28     L=Label("$\vect{R}_{30}$", position=EndPoint, align=RightSide));
  29 B.draw();
  30 \end{asy}
  31 \end{center}
  32 \end{problem*}
  33
  34 \begin{solution}
  35 The airplane is flying at a constant velocity, so we'll compute that
  36 velocity first,
  37 \begin{align}
  38   \vect{v} &= \frac{\vect{P}_{30} - \vect{P}_0}{t_{30} - t_{0}}
  39     = \frac{(8.04\E{3}\ihat+7.60\E{3}\jhat)\U{m} - 7.60\E{3}\jhat\U{m}}
  40            {30.0\U{s} - 0\U{s}} \\
  41     &= \frac{8.04\E{3}\ihat}{30.0}\U{m/s}
  42     = 268\ihat\U{m/s}
  43 \end{align}
  44 Which is, as claimed in the problem text, parallel to the $x$ axis.
  45
  46 The position at $t=45.0\U{s}$ is therefore
  47 \begin{align}
  48   \vect{P}_{45} &= \vect{P}_0 + \vect{v}(t_{45}-t_0)
  49     = 7.60\E{3}\jhat\U{m} + 268\ihat\U{m/s} \cdot (45.0\U{s} - 0\U{s}) \\
  50     &= (12.1\E{3}\ihat + 7.60\E{3}\jhat)\U{m}
  51     = (12.1\ihat + 7.60\jhat)\U{km} \\
  52   |\vect{P}_{45}| &= \sqrt{\vect{P}_{45,x}^2 + \vect{P}_{45,y}^2}
  53     = \sqrt{12.1^2 + 7.60^2}\U{km}
  54     = \ans{14.3\U{km}} \\
  55   \theta_{45} &= \arctan\p({\frac{\vect{P}_{45,y}}{\vect{P}_{45,x}}})
  56     = \arctan\p({\frac{7.60}{12.1}})
  57     = \ans{32.2\dg}
  58 \end{align}
  59 \end{solution}