latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem02.11.tex

   1 \begin{problem*}{2.11}
   2 A hare and a tortoise compete in a race over a straight course
   3 $1.00\U{km}$ long.  The tortoise crawls at a speed of $0.200\U{m/s}$
   4 toward the finish line.  The hare runs at a speed of $8.00\U{m/s}$
   5 toward the finish line for $0.800\U{km}$ and then stops to tease the
   6 slow-moving tortoise as the tortoise eventually passes by.  The hare
   7 waits for a while after the tortoise passes by and then runs toward
   8 the finish line again at $8.00\U{m/s}$.  Both the hare and the tortise
   9 cross the finish line at exactly the same instant.  Assume both
  10 animals, when moving, move steadily at their respective
  11 speeds.  \Part{a} How far is the tortoise from the finish line when
  12 the hare resumes the race?  \Part{b} For how long in time was the hare
  13 stationary?
  14 \end{problem*}
  15
  16 \begin{solution}
  17 Sometimes it is useful to draw a graph to get a feel for what's going
  18 on.
  19 \begin{center}
  20 \begin{asy}
  21 import graph;
  22 import Mechanics;
  23
  24 real u = 0.005cm;
  25 real v_scale = 10;          // increase v_scale to decrease time spread
  26
  27 real L = 1e3*u;             // length of race
  28 real p = 0.8e3u;            // hare pause location
  29 real vt = 0.2 * v_scale;    // tortoise velocity
  30 real vh = 8 * v_scale;      // hare velocity
  31 real T = L / vt;            // the tortoise walks the whole time
  32 pair f = (L,T);             // finish
  33 pair h1 = (p, p/vh);        // hare pause event
  34 pair h2 = (p, T-(L-p)/vh);  // hare restart event
  35
  36 dot((0,0));  // start
  37 dot(f);      // finish
  38
  39 Vector T1 = Vector((0,0), mag=length(f), dir=degrees(f), "tortoise");
  40 T1.draw(rotateLabel=true, labelOffset=-f/2);
  41
  42 Vector H1 = Vector((0,0), mag=length(h1), dir=degrees(h1), "hare");
  43 H1.draw(rotateLabel=true, labelOffset=-h1/2);
  44 Vector H2 = Vector(h1, mag=length(h2-h1), dir=degrees(h2-h1), "pause");
  45 H2.draw(rotateLabel=true, labelOffset=-(h2-h1)*2/3);
  46 Vector H3 = Vector(h2, mag=length(f-h2), dir=degrees(f-h2), "hare");
  47 H3.draw(rotateLabel=true, labelOffset=-(f-h2)/2);
  48
  49 xaxis("$x$");
  50 yaxis("$t$");
  51 \end{asy}
  52 \end{center}
  53
  54 \Part{a}
  55 The final distance run by the hare is
  56 \begin{equation}
  57   x_\text{h,2} = L - \Delta x_\text{h,1}
  58 \end{equation}
  59 which takes the hare
  60 \begin{equation}
  61   t_\text{h,2} = \frac{L - x_\text{h,1}}{v_\text{h}}
  62 \end{equation}
  63 In this time, the tortoise covers
  64 \begin{align}
  65   x_\text{t,2} &= v_\text{t} \cdot t_\text{h,2}
  66     = v_\text{t}\frac{L - x_\text{h,1}}{v_\text{h}}
  67     = \frac{v_\text{t}}{v_\text{h}}(L - x_\text{h,1}) \\
  68     &= \frac{0.200\U{m/s}}{8.00\U{m/s}}(1.00\U{km} - 0.800\U{km})
  69     = \ans{5.00\U{m}}
  70 \end{align}
  71
  72 \Part{b}
  73 The hare is running for
  74 \begin{equation}
  75   t_\text{h,run} = \frac{L}{v_\text{h}}
  76 \end{equation}
  77 The tortoise is running for
  78 \begin{equation}
  79   t_\text{t,run} = \frac{L}{v_\text{t}}
  80 \end{equation}
  81 and the tortoise is running for the whole race, so the hare pauses for
  82 \begin{align}
  83   t_\text{h,pause} &= t_\text{t,run} - t_\text{h,run}
  84     = \frac{L}{v_\text{t}} - \frac{L}{v_\text{h}}
  85     = \frac{1.00\U{km}}{0.200\U{m/s}} - \frac{1.00\U{km}}{8.00\U{m/s}} \\
  86     &= \ans{4.88\U{ks}} = 1.35\U{hours}
  87 \end{align}
  88 \end{solution}