latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem02.05.tex

   1 \begin{problem*}{2.5}
   2 A position-time graph for a particle moving along the $x$ axis is
   3 shown in Figure~P2.5.  \Part{a} Find the average velocity in the time
   4 interval $t=1.50\U{s}$ to $t=4.00\U{s}$.  \Part{b} Determine the
   5 instantaneous velocity at $t=2.00\U{s}$ by measuring the slope of the
   6 tangent to the graph.  \Part{c} At what value of $t$ is the velocity
   7 zero?
   8 \begin{center}
   9 \begin{asy}
  10 import graph;
  11
  12 size(4cm, IgnoreAspect);
  13
  14 /* Parameter computation from the back-of-the-book answers:
  15  *   2*a*2 + b = -3.8            (1)  (answer to part b)
  16  *   2*a*4 + b = 0               (2)  (answer to part c)
  17  *   2*a*2     = 3.8             (3)  ((2)-(1))
  18  *     a = 3.8/4 = 0.95 ~= 1.0   (4)  (solve (3), rounding to likely value)
  19  *   b = -8*a                    (5)  (rearrange (2))
  20  *   b = -8*1 = -8               (6)  (plug (4) into (5))
  21  *   a*4^2 + b*4 + c = 2         (7)  (location of minimum from graph)
  22  *   c = 2 - 16a - 4b            (8)  (rearrange (7))
  23  *   c = 2 - 16*1 + 4*8 = 18     (9)  (plug (4) and (6) into (8))
  24  */
  25 real a=1, b=-8, c=18;
  26 real tanj_time = 2;
  27
  28 real parab(real t) {
  29   return a*t*t + b*t + c;
  30 }
  31
  32 real tanj(real t) {
  33   real slope = 2*a*tanj_time + b;
  34   return slope * (t - tanj_time) + parab(tanj_time);
  35 }
  36
  37 draw(graph(tanj, 0, 3.5), green);
  38 draw(graph(parab, 1, 6.5), red);
  39
  40 xaxis("$t\U{s}$", BottomTop, LeftTicks(extend=true, ptick=gray+thin()));
  41 yaxis("$x\U{m}$", LeftRight, RightTicks(extend=true, ptick=gray+thin()));
  42 \end{asy}
  43 \end{center}
  44 \end{problem*}
  45
  46 \begin{solution}
  47 \Part{a}
  48 The average velocity is the total displacement over the elapsed time, so
  49 \begin{equation}
  50   v_\text{avg} = \frac{x(4.00\U{s}) - x(1.50\U{s})}{4.00\U{s}-1.50\U{s}}
  51     = \frac{2.0\U{m} - 8.0\U{m}}{2.5\U{s}}
  52     = \ans{-2.4\U{m/s}}
  53 \end{equation}
  54
  55 \Part{b}
  56 Using rise-over-run to determine the tangent slope
  57 \begin{equation}
  58   v(t=2.00\U{s}) = \frac{0\U{m} - 11.5\U{m}}{3.5\U{s} - 0.5\U{s}}
  59     = \ans{-3.8\U{m/s}}
  60 \end{equation}
  61
  62 \Part{c}
  63 Looking for the minimum of $x(t)$ (where the tangent curve is flat),
  64 we see that $v(\ans{4.0\U{s}})=0$.
  65 \end{solution}