latex/problems/Serway_and_Jewett_4_wking/question09.11.T.tex

   1 \begin{problem}
   2 By what fraction does the mass of a $m=10\U{g}$, $k=500\U{N/m}$ spring
   3 increase when it is compressed by $1\U{cm}$?
   4 \begin{center}
   5 \begin{asy}
   6 import Mechanics;
   7 real u = .5cm;
   8
   9 Spring Su = Spring(pFrom=(0,0), pTo=(4u,0), k=500, L="$m$");
  10 Spring Sc = Spring(pFrom=(0,-2u), pTo=(3u,-2u), k=500, L="$m'$");
  11 Distance d = Distance(pFrom=(4u,-2u), pTo=(3u,-2u), scale=u, L=rotate(90)*Label("1 cm"));
  12 Su.draw();
  13 Sc.draw();
  14 d.draw();
  15 \end{asy}
  16 \end{center}
  17 \end{problem} % Based on Q9.11
  18
  19 \begin{solution}
  20 Compression increases the potential energy of the spring by
  21 \begin{equation}
  22   \Delta U = \frac{1}{2} k \Delta x^2
  23            = \frac{1}{2} \cdot 500\U{N/m} \cdot \p({0.01\U{m}})^2
  24            = 25.0\U{mJ} \;.
  25 \end{equation}
  26 From Einstein's mass-energy equivalence, increasing the spring's
  27 energy must also increase its mass, since mass and energy are two ways
  28 of talking about the same stuff.
  29 \begin{align}
  30   \Delta E &= \Delta m c^2 \\
  31   \Delta m &= \frac{\Delta E}{c^2} = \frac{\Delta U}{c^2}
  32             = \frac{0.025\U{J}}{(3\E{8}\U{m/s})^2}
  33             = 2.78\E{-19}\U{kg} \;.
  34 \end{align}
  35 So the fractional mass increase is
  36 \begin{equation}
  37   \frac{\Delta m}{m} = \frac{2.78\E{-19}\U{kg}}{0.010\U{kg}}
  38                      = \ans{2.78\E{-17}} \;.
  39 \end{equation}
  40
  41 This mass difference is quite small, which is why it took so long to
  42 come up with the $E=mc^2$ idea.  Notice, though, that the mass
  43 difference is equal to the mass of 16 billion protons (at
  44 $1.67\E{-27}\U{kg}$ a pop).  Nuclear reactions achieve their high
  45 energies through small energy changes for an \emph{enourmous} number
  46 of nuclei (on the order of Avogadro's number $N_A =
  47 6.022\E{23}\U{particles/mole}$)
  48 \end{solution}