latex/problems/Serway_and_Jewett_4_venkat/problem12.V1.tex

   1 \begin{problem}
   2 A mass $m$ is attached to the free end of a light vertical spring
   3 (unstretched length $l$) of spring constant $k$ and suspended from a
   4 ceiling. The spring stretches by $\Delta l$ under the load and comes
   5 to equilibrium at a height $h$ above the ground level (y = 0). The
   6 mass is pushed up vertically by $A$ from its equilibrium position and
   7 released from rest. The mass-spring executes vertical
   8 oscillations. Assuming that gravitational potential energy of the mass
   9 $m$ is zero at the ground level, show that the total energy of the
  10 spring-mass system is $\frac{1}{2}k(\Delta l^2 + A^2) + mgh$.
  11
  12 Hint: Draw four clear sketches of the vertical free spring,
  13 spring-mass in equilibrium and the two extreme positions of
  14 oscillation of the mass. Below each of the above sketches (except free
  15 spring), write equations for kinetic energy, elastic potential energy,
  16 gravitational potential energy, and total energy using symbols $k$,
  17 $\Delta l$, $m$, $A$, $g$, $h$, and $v_m$.
  18 \end{problem}
  19
  20 \begin{solution}
  21 \begin{center}
  22 \begin{asy}
  23 import Mechanics;
  24
  25 real u = 1cm;
  26 real L = 1.5u;
  27 real dL = 0.7L;
  28 real A = 0.5L;
  29 real h = 2L;
  30
  31 draw((0,0)--(4L,0), green);
  32 label("ground", (0,0), W);
  33
  34 draw((0,h+dL+L)--(4L,h+dL+L));
  35 label("fixed end", (0,h+dL+L), W);
  36
  37 draw((0,h)--(4L,h), gray(0.6)+dashed);
  38 label("equilibrium", (0,h), W);
  39
  40 draw((0,h+dL)--(4L,h+dL), gray(0.6)+dashed);
  41 label("unstretched", (0,h+dL), W);
  42
  43 draw((0,h+A)--(4L,h+A), gray(0.6)+dashed);
  44 label("maximum", (0,h+A), W);
  45
  46 draw((0,h-A)--(4L,h-A), gray(0.6)+dashed);
  47 label("minimum", (0,h-A), W);
  48
  49 Mass m;
  50 Spring s;
  51
  52 real x = 0;
  53 s = Spring(pFrom=(x,h+dL+L), pTo=(x,h+dL));
  54 s.draw();
  55
  56 real x = 2L;
  57 m = Mass((x,h), radius=1.5mm);
  58 s = Spring(pFrom=(x,h+dL+L), pTo=m.center());
  59 s.draw();
  60 m.draw();
  61
  62 real x = 3L;
  63 m.set_center((x,h+A));
  64 s = Spring(pFrom=(x,h+dL+L), pTo=m.center());
  65 s.draw();
  66 m.draw();
  67
  68 real x = 4L;
  69 m.set_center((x,h-A));
  70 s = Spring(pFrom=(x,h+dL+L), pTo=m.center());
  71 s.draw();
  72 m.draw();
  73
  74 real dx = 0.5u;
  75 Distance Dh = Distance(pFrom=(0,0), pTo=(0,h), "$h$");
  76 Dh.draw();
  77 Distance DdL = Distance(pFrom=(dx,h), pTo=(dx,h+dL), "$\Delta l$ ");
  78 // inline asymptote crowds the label.  this space intentional  -^
  79 DdL.draw();
  80 Distance DL = Distance(pFrom=(2dx,h+dL), pTo=(2dx,h+dL+L), "$L$");
  81 DL.draw();
  82 Distance Aup = Distance(pFrom=(3dx,h), pTo=(3dx,h+A), "$A$");
  83 Aup.draw();
  84 Distance Adn = Distance(pFrom=(4dx,h-A), pTo=(4dx,h), "$A$");
  85 Adn.draw();
  86 \end{asy}
  87 \end{center}
  88
  89 \begin{tabular}{l l l l}
  90   &
  91   Equilibrium &
  92   Top &
  93   Bottom \\
  94 Kinetic energy &
  95   $\frac{1}{2}mv_m^2$ &
  96   $0$ &
  97   $0$ \\
  98 Elastic energy &
  99   $\frac{1}{2}k\Delta l^2$ &
 100   $\frac{1}{2}k(\Delta l-A)^2$ &
 101   $\frac{1}{2}k(\Delta l+A)^2$ \\
 102 Gravitational energy &
 103   $mgh$ &
 104   $mg(h+A)$ &
 105   $mg(h-A)$ \\
 106 Total energy &
 107   $\frac{1}{2}mv_m^2+mgh+\frac{1}{2}k\Delta l^2$ &
 108   $mg(h+A)+\frac{1}{2}k(\Delta l-A)^2$ &
 109   $mg(h-A)+\frac{1}{2}k(\Delta l+A)^2$
 110 \end{tabular}
 111
 112 These energies are all equivalent to the suggested formula, because
 113 \begin{align}
 114   k\Delta l &= mg \\
 115   v_m &= \omega A = \sqrt{\frac{k}{m}} A \\
 116   E_e &= \frac{1}{2}mv_m^2 +mgh+\frac{1}{2}k\Delta l^2
 117     = mgh + \frac{1}{2}m\frac{k}{m}A^2 +\frac{1}{2}k\Delta l^2
 118     = mgh + \frac{1}{2}k(\Delta l^2 + A^2) \\
 119   E_t &= mg(h+A)+\frac{1}{2}k(\Delta l-A)^2
 120     = mgh + k\Delta l A + \p({\frac{1}{2}k\Delta l^2 - k\Delta l A + \frac{1}{2}kA^2})
 121     = mgh + \frac{1}{2}k(\Delta l^2 + A^2) \\
 122   E_b &= mg(h-A)+\frac{1}{2}k(\Delta l+A)^2
 123     = mgh - k\Delta l A + \p({\frac{1}{2}k\Delta l^2 + k\Delta l A + \frac{1}{2}kA^2})
 124     = mgh + \frac{1}{2}k(\Delta l^2 + A^2)
 125 \end{align}
 126 \end{solution}