latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem28.25.tex

   1 \begin{problem*}{28.25} % diffraction, resolution
   2 The resolving power of a microscope depends on the wavelength of light
   3 used.  If one wished to ``see'' an atom, a resolution of approximately
   4 $1.00\E{-11}\U{\m}$ would be required.  \Part{a} If electrons are used
   5 (in an electron microscope), what minimum kinetic energy is required
   6 for the electrons?  \Part{b} If photons are used, what minimum photon
   7 energy is needed to obtain the required resolution?
   8 \end{problem*}
   9
  10 \begin{solution}
  11 \Part{a}
  12 This is a de Broglie problem, since the resultion of the microscope is
  13 on the order of the wavelength of the probe photon or electron.  We
  14 use de Broglie's formula to relate the particle's wavelength to it's
  15 momentum $\lambda p = h$ (Equation 28.10).
  16
  17 First, assume our electrons have non-relativistic speeds and we can
  18 use $p = m_0v$ (as opposed to the relativistic Equation 9.15 $p =
  19 \gamma m_0 v$).
  20 \begin{align}
  21   \lambda &= \frac{h}{p} = \frac{h}{m_0v} \\
  22   v &= \frac{h}{m_0\lambda} \\
  23   K &= \frac{1}{2} m_0 v^2 = \frac{h^2}{2m_0\lambda^2} \;.
  24 \end{align}
  25 We can resolve features on the order of a wavelength, so let's set
  26 $\lambda = 0.1\U{\AA}$.
  27 \begin{equation}
  28   K = \frac{6.626\E{-34}\U{J$\cdot$s$^2$}}{2\cdot 9.11\E{-31}\U{kg} \cdot (1\E{-11}\U{m})^2}
  29      = \ans{2.41\E{-15}\U{J}} = \ans{15.1\U{keV}} \;.
  30 \end{equation}
  31 We assumed that the electrons were non-relativistic, so we check our
  32 calculated speed
  33 \begin{equation}
  34   v = \frac{h}{m_0\lambda} = 0.727\E{8}\U{m/s} = 0.242 c \;.
  35 \end{equation}
  36 This is on the border of the relativistic behavior, so we can go back
  37 and redo the calculation relativistically.
  38 \begin{align}
  39   p &= \frac{h}{\lambda} = 6.63\E{-23}\U{kg$\cdot$m/s$^2$} \\
  40   E^2 &= p^2 c^2 + m_0^2 c^4 \\
  41   K &= E - E_\text{rest} = E - m_0 c^2 = \sqrt{p^2 c^2 + m_0^2 c^4} - m_0 c^2
  42      = \ans{2.38\E{-15}\U{J}} = \ans{14.8\U{keV}} \;.
  43 \end{align}
  44 Which is pretty close to our non-relativistic answer.  The $E^2$
  45 formula is simply a rephrasing of $E = \gamma m_0 c^2$ in terms of
  46 momentum.  The derivation is sketched out in the text around Equation
  47 9.22.
  48
  49 If you wanted to get really fancy, you could use the formula for the
  50 resolution of a circular-aperature microscope (Equation 27.15)
  51 \begin{align}
  52   \theta_\text{min} &= 1.22\frac{\lambda}{D} \\
  53   \Delta x_\text{min} &= L\tan(\theta_\text{min})
  54 \end{align}
  55 to determine the required wavelength of light, but you'd have to make
  56 guesses about the diameter of the aperature $D$ and the distance
  57 between the aperature and the speciment $L$.
  58
  59 \Part{b}
  60 For light, we use the relativistic formula with $m_0 = 0$
  61 \begin{equation}
  62   E = K = p c = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\U{eV$\cdot$nm}}{0.01\U{nm}}
  63     = \ans{124\U{keV}} = \ans{1.98\E{-14}\U{J}} \;,
  64 \end{equation}
  65 around 8 times larger than the energy needed using electrons.
  66 \end{solution}