latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem24.25.tex

   1 \begin{problem*}{24.25} % Poynting vector, power <-> EM fields
   2 The filament of an incandescent lamp has a $150\U{\Ohm}$ resistance
   3 and carries a direct current of $1.00\U{A}$.  The filament is
   4 $8.00\U{cm}$ long and $0.900\U{mm}$ in radius.  \Part{a} Calculate
   5 the Poynting vector at the surface of the filament, associated with
   6 the static electric field producing the current and the curret's
   7 static magnetic field.  \Part{b} Find the magnitude of the static
   8 electric and magnetic fields at the surface of the filament.
   9 \end{problem*}
  10
  11 \begin{solution}
  12 \Part{a}
  13 The hot resistor will be radiating heat, and none of the electric or
  14 magnetic fields change with time, so we expect a constant Poynting
  15 vector of magnitude
  16 \begin{equation}
  17   S = \frac{P}{A} = \frac{I^2R}{2\pi r L}
  18     = \ans{332\U{kW/m$^2$}} \;.
  19 \end{equation}
  20 This Poynting vector will always point away from the wire (in the
  21 direction the radiation is going).
  22
  23 \Part{b}
  24 The electric field is given by Ohm's law.
  25 \begin{align}
  26   V &= I R \\
  27   E &= \frac{V}{L} = \frac{IR}{L}
  28     = \frac{1.00\U{A}\cdot150\U{\Ohm}}{8.00\E{-2}\U{m}}
  29     = \ans{1875\U{V/m}} \;.
  30 \end{align}
  31 The magnetic field from a long, straight wire is
  32 \begin{equation}
  33   B = \ans{\frac{I}{2\pi r}} \;,
  34 \end{equation}
  35 so the magnetic field at the surface of the wire is
  36 \begin{equation}
  37   B = 177\U{T}
  38 \end{equation}
  39 The electric field is along the wire, and the magnetic field is
  40 perpendicular to the current, so the Poynting vector points directly
  41 out (perpendicular to the wire's surface) and has a magnitude
  42 \begin{equation}
  43   S = EB\sin(90\dg) = EB = \frac{IR}{L}\cdot\frac{I}{2\pi r}
  44     = \frac{I^2R}{2\pi r L} \;,
  45 \end{equation}
  46 which is the same expression we found in \Part{a}.
  47 \end{solution}