latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem24.22.tex

   1 \begin{problem*}{24.22} % power <-> EM fields
   2 An AM radio station broadcasts isotropically (equally in all
   3 directions) with an average power of $4.00\U{kW}$.  A dipole recieving
   4 antenna $65.0\U{cm}$ long is at a location $4.00\U{miles}$ from the
   5 transmitter.  Compute the amplitude of the emf that is induced by this
   6 signal between the ends of the recieving antenna.
   7 \end{problem*}
   8
   9 \begin{solution}
  10 To find the signal intensity at our antenna, we note that the power
  11 broadcast from the station is spread out over a sphere of radius
  12 $R=4.00\U{miles}$.  The average intensity is then
  13 \begin{equation}
  14   I = S_\text{avg} = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi R^2}
  15     = \frac{4.00\E{3}\U{W}}{4\pi(4.00\U{miles}\cdot 1.609\E{3}\U{m/mile})^2}
  16     = 7.68\U{$\mu$W/m$^2$} \;.
  17 \end{equation}
  18 From Equation 24.27, we see
  19 \begin{align}
  20   S_\text{avg} &= \frac{E_\text{max}^2}{2\mu_0 c} \tag{24.27} \\
  21   E_\text{max} &= \sqrt{2\mu_0 c S_\text{avg}} = 76.1\U{mV/m}
  22 \end{align}
  23 The total voltage difference produced across our length $L=65.0\U{cm}$
  24 antenna is then
  25 \begin{equation}
  26   \Delta V = LE_\text{max} = \ans{49.4\U{mV}}
  27 \end{equation}
  28 \end{solution}