latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem24.09.tex

   1 \newcommand{\Em}{E_\text{max}}
   2 \newcommand{\Bm}{B_\text{max}}
   3 \newcommand{\ctrig}{\cos(kx-\omega t)}
   4 \newcommand{\strig}{\sin(kx-\omega t)}
   5 \begin{problem*}{24.9} % EM waves, Maxwell's equations
   6 Verify by substitution that the following equations are solutions to
   7 Equations 24.15 and 24.16 respectively:
   8 \begin{align}
   9   E &= \Em\ctrig \\
  10   B &= \Bm\ctrig
  11 \end{align}
  12 \begin{align*}
  13   \npderiv{2}{x}{E} &= \epsilon_0\mu_0 \npderiv{2}{t}{E} \tag{24.15} \\
  14   \npderiv{2}{x}{B} &= \epsilon_0\mu_0 \npderiv{2}{t}{B} \tag{24.16}
  15 \end{align*}
  16 \end{problem*}
  17
  18 \begin{solution}
  19 This is just an excercise in partial derivatives.
  20 \begin{align}
  21   \pderiv{x}{E} &= -\Em\strig\cdot k \\
  22   \npderiv{2}{x}{E} &= -\Em k\ctrig\cdot k = -k^2 E\\
  23   \pderiv{t}{E} &= -\Em\strig\cdot (-\omega) \\
  24   \npderiv{2}{t}{E} &= \Em\omega\ctrig\cdot (-\omega) = -\omega^2 E \\
  25   \frac{k\U{rad/m}}{\omega\U{rad/s}} &= \frac{1}{c}
  26     = \sqrt{\epsilon_0\mu_0} \label{eq.c_to_e_mu} \\
  27   \npderiv{2}{x}{E} &= \frac{k^2}{\omega^2} \npderiv{2}{t}{E}
  28     = \epsilon_0\mu_0 \npderiv{2}{t}{E}
  29 \end{align}
  30 which is what we set out to show.  Note that we used Equation 24.17 in
  31 Equation \ref{eq.c_to_e_mu}.  The situation for $B$ is exactly the
  32 same with the replacement $E\rightarrow B$.
  33 \begin{align}
  34   \pderiv{x}{B} &= -\Bm\strig\cdot k \\
  35   \npderiv{2}{x}{B} &= -\Bm k\ctrig\cdot k = -k^2 B\\
  36   \pderiv{t}{B} &= -\Bm\strig\cdot (-\omega) \\
  37   \npderiv{2}{t}{B} &= \Bm\omega\ctrig\cdot (-\omega) = -\omega^2 B \\
  38   \frac{k\U{rad/m}}{\omega\U{rad/s}} &= \frac{1}{c}
  39     = \sqrt{\epsilon_0\mu_0} \\
  40   \npderiv{2}{x}{B} &= \frac{k^2}{\omega^2} \npderiv{2}{t}{B}
  41     = \epsilon_0\mu_0 \npderiv{2}{t}{B}
  42 \end{align}
  43 \end{solution}