latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem24.07.tex

   1 \begin{problem*}{24.7}
   2 Figure 24.3 shows a plane electromagnetic sinosoidal wave propogating
   3 in the $x$ direction.  Suppose the wavelength is $50.0\U{m}$ and the
   4 electric field vibrates in the $xy$ plane with an amplitude of
   5 $22.0\U{V/m}$.  Calculate \Part{a} the frequency of the wave
   6 and \Part{b} the magnitude and direction of \vect{B} when the electric
   7 field has its maximum value in the negative $y$ direction.  \Part{c}
   8 Write an expression for the \vect{B} with the correct unit vector,
   9 with numerical values for $B_\text{max}$, $k$, and $\omega$, and with
  10 its magnidude in the form
  11 \begin{equation}
  12  B = B_\text{max}\cos(kx-\omega t)
  13 \end{equation}
  14 \end{problem*} % problem 24.7
  15
  16 \begin{solution}
  17 \Part{a}
  18 This is just a units conversion
  19 \begin{equation}
  20   f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3.00\E{8}\U{m/s}}{50.0\U{m/cycle}}
  21     = 6.00\E{6}\U{cycles/s} = \ans{6.00\U{MHz}}
  22 \end{equation}
  23
  24 \Part{b}
  25 The magnitude of $B$ in an electromagnetic plane wave is given by
  26 $B=E/c$.  The direction of the wave's motion is given by the Poynting
  27 vector $\vect{S}=\vect{E}\times\vect{B}$.  Using the right-hand-rule
  28 for the cross product, we see that when \vect{E} is in the $-\jhat$
  29 direction and \vect{S} is in the \ihat\ direction, \vect{B} must be in
  30 the $-\khat$ direction.  Putting this together
  31 \begin{equation}
  32   \vect{B_0} = \frac{-E_0}{c}\khat = \ans{-73.3\U{nT}\cdot\khat}
  33 \end{equation}
  34
  35 \Part{c}
  36 Because it is a sinusoidal wave moving in the \ihat\ direction, we know
  37 $B$ must look something like
  38 \begin{equation}
  39   \vect{B} = \vect{B_0} \cos(kx - \omega t + \phi) \;.
  40 \end{equation}
  41 We already found \vect{B_0} in \Part{b}, and we don't have any phase
  42 information, so we can drop $\phi$.  That leaves
  43 \begin{align}
  44   k &= \frac{2\pi}{\lambda} = 0.126\U{rad/m} \\
  45   \omega &= 2\pi f = 3.77\E{7}\U{rad/s}
  46 \end{align}
  47 so
  48 \begin{equation}
  49   \vect{B} = \ans{-73.3\U{nT} \cdot
  50     \cos(0.126\U{rad/m}\cdot x - 3.77\E{7}\U{rad/s}\cdot t) \khat} \;.
  51 \end{equation}
  52 \end{solution}