latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem23.53.tex

   1 \begin{problem*}{23.53}
   2 A particle with a mass of $m = 2.00\E{-16}\U{kg}$ and a charge of $q =
   3 30.0\U{nC}$ starts from rest, is accelerated by a strong electric
   4 field, and is fired from a small source inside a region of uniform
   5 constant magnetic field $B = 0.600\U{T}$.  The velocity of the
   6 particle is perpendicular to the field.  The circular orbit of the
   7 particle encloses a magnetic flux of $\Phi_B = 15.0\U{$\mu$Wb}$.
   8 \Part{a} Calculate the speed of the particle.
   9 \Part{b} Calculate the potential difference through which the particle
  10 accelerated inside the source.
  11 \end{problem*} % problem 23.53
  12
  13 \begin{solution}
  14 \Part{a}
  15 For particles circling in a uniform, perpendicular magnetic field,
  16 \begin{align}
  17  F_c &= m \frac{v^2}{r} = qvB \\
  18  mv &= qrB
  19 \end{align}
  20
  21 Letting $\tau$ be the period, from $\Delta x = v \Delta t$ we have
  22 \begin{equation}
  23  \tau = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi r m}{qrB} = \frac{2 \pi m}{qB}
  24       = 69.8\U{ns}
  25 \end{equation}
  26 The inverse of our cyclotron frequency from Recitation 7.
  27
  28 The flux and magnetic field give us radius by
  29 \begin{align}
  30  \Phi_B &= AB = \pi r^2 B \\
  31  r &= \sqrt{\frac{\Phi_B}{\pi B}} = \ans{2.82\U{mm}}
  32 \end{align}
  33
  34 So the speed is given by
  35 \begin{equation}
  36  v = \frac{2 \pi r}{\tau} = \frac{qB}{2 \pi m}\sqrt{\frac{\Phi_B}{\pi B}}
  37    = \ans{254\U{km/s}}
  38 \end{equation}
  39
  40 \Part{b}
  41 Conserving energy
  42 \begin{align}
  43  K &= \frac{1}{2}mv^2 = q\Delta V \\
  44  \Delta V &= \frac{mv^2}{2q} = \ans{215\U{V}}
  45 \end{align}
  46 \end{solution}