latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem23.13.tex

   1 \begin{problem*}{23.13} % rail guns
   2 Figure P23.12 shows a top view of a bar that can slide without
   3 friction.  The resistor is $R = 6.00\Omega$, and a $B = 2.50\U{T}$
   4 magnetic field is directed perpendicularly downward, into the paper.
   5 Let $l = 1.20\U{m}$.
   6 \Part{a} Calculate the applied force required to move the bar to the
   7 right at a constant speed $v = 2.00\U{m/s}$.
   8 \Part{b} At what rate is energy delivered to the resistor?
   9 \end{problem*}
  10
  11 \begin{solution}
  12 \Part{a}
  13 Let $x$ be the width of the enclosed loop.  The magnetic flux is then
  14 \begin{equation}
  15  \Phi_B = AB = xlB
  16 \end{equation}
  17 So the induced emf is
  18 \begin{equation}
  19  \varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -lB \frac{dx}{dt} = -lvB
  20 \end{equation}
  21 So the induced current is
  22 \begin{equation}
  23  I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{-lvB}{R}
  24 \end{equation}
  25 The $-$ sign indicates the current is counterclockwise (out of the
  26 page), so current flows upward through the bar, so the magnetic force
  27 on the bar is to the left, so our applied force must be \ans{to the right}.
  28
  29 The work begin done by the applied force is
  30 \begin{equation}
  31  W = F \cdot dx \;.
  32 \end{equation}
  33 So the power input from the force is
  34 \begin{equation}
  35  P_F = \frac{W}{dt} = F \frac{dx}{dt} = Fv \;.
  36 \end{equation}
  37
  38 All of this power must be dissipated by the resistor, so the current is
  39 \begin{align}
  40  P &= I^2 R \\
  41  I &= \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{Fv}{R}} \;.
  42 \end{align}
  43
  44 We combine both current equations to yield
  45 \begin{align}
  46  \frac{-lvB}{R} &= \sqrt{\frac{Fv}{R}} \\
  47  (lvB)^2 &= RFv \\
  48  F &= \frac{v(lB)^2}{R} = \ans{3.00\U{N}} \;.
  49 \end{align}
  50
  51 \Part{b}
  52 Going back and plugging in $F$,
  53 \begin{equation}
  54  P_F = Fv = \ans{6.00\U{W}} \;.
  55 \end{equation}
  56 \end{solution}