latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem23.10.tex

   1 \begin{problem*}{23.10}
   2 A piece of insulated wire is shaped into a figure eight as shown in
   3 Figure P23.10.  The radius of the upper circle is $r_s = 5.00\U{cm}$
   4 and that of the lower circle is $r_b = 9.00\U{cm}$.  The wire has a
   5 uniform resistance per unit length of $\lambda = 3.00\U{$\Omega$/m}$.
   6 A uniform magnetic field is applied perpendicular to the plane of the
   7 two circles, in the direction shown.  The magnetic field is increasing
   8 at a constant rate of $dB/dt = 2.00\U{T/s}$.  Find the magnitude and
   9 direction of the induced current in the wire.
  10 \end{problem*} % problem 23.10
  11
  12 \begin{solution}
  13 Pick a direction for the current to be counterclockwise in the bottom
  14 loop (so clockwise in the top).  Thus, the area vector of the top loop
  15 is antiparallel to \vect{B} and that of the bottom loop is parallel to
  16 \vect{B}.  The magnetic flux is then
  17 \begin{equation}
  18  \Phi_B = \vect{A}\cdot\vect{B} = (\pi r_s^2 - \pi r_b^2)B \;.
  19 \end{equation}
  20
  21 Using Ampere's law
  22 \begin{equation}
  23  \varepsilon = - \frac{d\Phi_B}{dt} = \pi(r_b^2 - r_s^2)\frac{dB}{dt} \;.
  24 \end{equation}
  25
  26 The resistance of the entire figure eight is
  27 \begin{equation}
  28  R = \lambda (2 \pi r_s + 2 \pi r_b) \;.
  29 \end{equation}
  30
  31 Plugging that into Ohm's law yields
  32 \begin{align}
  33  \varepsilon &= V = I R \\
  34  I &= \frac{(r_b^2 - r_s^2) \frac{dB}{dt}}{2 \lambda (r_s + r_b)}
  35     = \ans{25.2\U{mA}} \;.
  36 \end{align}
  37 \end{solution}