latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem19.19.tex

   1 \begin{problem*}{19.19}
   2 A uniformly charged ring of radius $r = 10.0\U{cm}$ has a total charge
   3 of $q = 75.0\U{$\mu$C}$.  Find the electric field on the axis of the
   4 ring at
   5  \Part{a} $x_a = 1.00\U{cm}$,
   6  \Part{b} $x_b = 5.00\U{cm}$,
   7  \Part{c} $x_c = 30.0\U{cm}$, and
   8  \Part{d} $x_d = 100\U{cm}$ from the center of the ring.
   9 \end{problem*} % problem 19.19
  10
  11 \begin{solution}
  12 \begin{center}
  13 \begin{asy}
  14 import three;
  15 import ElectroMag;
  16 currentprojection = TopView;
  17
  18 real u = 2cm;
  19 Ring r = Ring(normal=(1,0,0.1), radius=u,  // cheat with z component
  20     axis_post=2u, outline=pChargePen, fill=pChargePen, axis=black,
  21     L=Label("$q$"),
  22     axis_label=Label("$x$", position=EndPoint, align=RightSide));
  23 r.draw();
  24 pair a = (0, u);
  25 pair b = (0, -u);
  26 pair c = (1.3u, 0);
  27 Distance da = Distance(a, c, "$r_1$");  da.draw();
  28 Distance db = Distance(b, c, "$r_2$");  db.draw();
  29 Vector Ea = EField(
  30     c, dir=degrees(c-a), L=Label("$E_1$", position=EndPoint, align=RightSide));
  31 Ea.draw();
  32 Vector Eb = EField(
  33     c, dir=degrees(c-b), L=Label("$E_2$", position=EndPoint, align=LeftSide));
  34 Eb.draw();
  35 Vector E = Ea + Eb;
  36 E.label = Label("$E$", position=EndPoint, align=RightSide);
  37 E.draw();
  38 dot(c);
  39 \end{asy}
  40 \end{center}
  41
  42 From Example 19.5 (p.~616) we see the electric field along the axis
  43 (\ihat) of a uniformly charged ring is given by
  44 \begin{equation}
  45  E = \frac{k_e x q}{(x^2 + r^2)^{3/2}} \ihat
  46 \end{equation}
  47
  48 So applying this to our four distances (rembering to convert the
  49 distances to meters), we have
  50 \begin{align}
  51  E_a &= \ans{6.64\E{6}\U{N/C}\;\ihat} \\
  52  E_b &= \ans{24.1\E{6}\U{N/C}\;\ihat} \\
  53  E_c &= \ans{6.40\E{6}\U{N/C}\;\ihat} \\
  54  E_d &= \ans{0.664\E{6}\U{N/C}\;\ihat}
  55 \end{align}
  56 \end{solution}