latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem14.20.tex

   1 \begin{problem*}{14.20}
   2 In the arrangement shown in Figure P14.20, an object can be hung from
   3 a string (with a linear mass density $\mu=2.00\U{g/m}$) that passes
   4 over a light pulley.  The string is connected to a vibrator (of
   5 constant frequency $f$), and the length of the string between point
   6 $P$ and the pulley is $L=2.00\U{m}$.  When the mass $m$ of the object
   7 is either $16.0\U{kg}$ or $25.0\U{kg}$, standing waves are observed,
   8 but no standing waves are observed with any mass between these
   9 values.  \Part{a} What is the frequency of the vibrator?  (Note: The
  10 greater the tension in the string, the smaller the number of nodes in
  11 the standing wave.)  \Part{b} What is the largest object mass for
  12 which standing waves could be observed?
  13 \begin{center}
  14 \begin{asy}
  15 import Mechanics;
  16
  17 real u=1cm;
  18 real L=3u; // length between P and pulley
  19 real A=.15u; // amplitude of vibrations
  20 real N=3; // number of full vibrations
  21 real w=1.7u; // width of box
  22
  23 real n = 100;
  24 real dx = L/n;
  25 real dtheta = N*2*pi/n;
  26 int i;
  27 path p;
  28 for (i=0; i<=n; ++i) {
  29   p = p..(i*dx, A*sin(i*dtheta));
  30 }
  31
  32 Block vib = Block((-w/2,0), width=w, height=w/3, L="vibrator");
  33 Block obj = Block((L+(1+cos(pi/4))*A, -L/3), width=vib.height, L="$m$");
  34 Distance dL = Distance((0,vib.height/2), (L,vib.height/2),
  35     L=Label("$L$", align=LeftSide));
  36
  37 draw(p, blue);
  38 draw(yscale(-1)*p, blue+dotted);
  39 draw((L+(1+cos(pi/4))*A, -A*sin(pi/4))--obj.center, blue);
  40 dL.draw();
  41 filldraw(shift(L+A*cos(pi/4),0-A*sin(pi/4))*scale(A)*unitcircle);
  42 vib.draw();
  43 dot((0,0));
  44 label("$P$", (0,vib.height/2), dir(90));
  45 label("$\mu$", (L/2,-vib.height/2), dir(-90));
  46 obj.draw();
  47 \end{asy}
  48 \end{center}
  49 \end{problem*} % problem 14.20
  50
  51 \begin{solution}
  52 \Part{a}
  53 For a patricular hanging mass $m$, the tension in the string balances
  54 the gravitational force on the mass, so
  55 \begin{equation}
  56   T = mg \;,
  57 \end{equation}
  58 so the speed of sound in the string is
  59 \begin{equation}
  60   v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{mg}{\mu}} \;.
  61 \end{equation}
  62
  63 Standing waves on strings occur when a wave completes some number of
  64 full cycles in a round trip.  In mathematical terms
  65 \begin{align}
  66   n\cdot 2\pi &= k\cdot 2L = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 2L \\
  67   n &= \frac{2L}{\lambda} \\
  68   \lambda &= \frac{2L}{n}
  69 \end{align}
  70 for integer $n$ (the number of the particular vibrational mode).  With the
  71 generator operating at a fixed frequency $f$, the wavelength is also
  72 related to the wave speed by
  73 \begin{equation}
  74   \lambda = \frac{v}{f} \;,
  75 \end{equation}
  76 so
  77 \begin{align}
  78  \frac{2L}{n} &= \lambda = \frac{v}{f} = \frac{1}{f}\cdot\sqrt{\frac{mg}{\mu}} \\
  79  2Lf\sqrt{\frac{\mu}{mg}} &= n \;,
  80 \end{align}
  81
  82 To put it all together we notice that the two masses, $m_1=16.0\U{kg}$
  83 and $m_2=25.0\U{kg}$ are said to produce consecutive modes.  From the
  84 last equation, we see that increasing mass $m$ decreases the mode
  85 number $n$, so the heavier mass must be one mode lower than the
  86 lighter, or $n_1=n_2+1$.  From here on out, it's all algebra to find
  87 $f$.
  88 \begin{align}
  89   n_2 &= 2Lf\sqrt{\frac{\mu}{m_2g}} \\
  90   n_1 &= 2Lf\sqrt{\frac{\mu}{m_1g}} = n_2+1 = 2Lf\sqrt{\frac{\mu}{m_2g}} + 1\\
  91   1 &= 2Lf\sqrt{\frac{\mu}{g}}\p({\frac{1}{\sqrt{m_1}}-\frac{1}{\sqrt{m_2}}}) \\
  92   f &= \p[{2L\sqrt{\frac{\mu}{g}}\p({\frac{1}{\sqrt{m_1}}-\frac{1}{\sqrt{m_2}}})}]^{-1}
  93     = \ans{350\U{Hz}}
  94 \end{align}
  95
  96 \Part{b}
  97 As we saw in \Part{a}, increasing the mass decreased the vibrational
  98 mode number.  The largest mass that can sustain standing waves is the
  99 one for which the vibration is in the first mode, so
 100 \begin{align}
 101   1 &= n = 2Lf\sqrt{\frac{\mu}{m_\text{max} g}} \\
 102   \sqrt{\frac{m_\text{max} g}{\mu}} &= 2Lf \\
 103   \frac{m_\text{max} g}{\mu} &= (2Lf)^2 \\
 104   m_\text{max} &= \frac{\mu(2Lf)^2}{g} = \ans{400\U{kg}}
 105 \end{align}
 106 \end{solution}