latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem14.08.tex

   1 \begin{problem*}{14.8}
   2 Two loudspeakers are placed on a wall $2.00\U{m}$ apart.  A listener
   3 stands $3.00\U{m}$ from the wall directly in front of one of the
   4 speakers.  A single oscillator is driving the speakers at a frequency
   5 of $300\U{Hz}$.  \Part{a} What is the phase difference between the two
   6 waves when they reach the observer?  \Part{b} What is the frequency
   7 closest to $300\U{Hz}$ to which the oscillator may be adjusted so that
   8 the observer hears minimal sound?
   9 \end{problem*} % problem 14.8
  10
  11 \begin{solution}
  12 \begin{center}
  13 \begin{asy}
  14 import Mechanics;
  15
  16 real u=1cm;
  17 pair SpeakerA = (0,0);
  18 pair SpeakerB = (0,2u);
  19 pair Listener = (3u,0);
  20
  21 // Extra label text for spacing with inline asymptote
  22 Distance dAB = Distance(SpeakerA, SpeakerB, Label("$L=2\U{m}$", "L=2 m"));
  23 Distance dAL = Distance(Listener, SpeakerA, Label("$d_a=3\U{m}$", "da=3 m"));
  24 Distance dBL = Distance(SpeakerB,Listener,
  25                         Label("$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad d_b=\sqrt{L^2+d_a^2}=3.606\U{m}$",
  26                               "$d_b=\sqrt{L^2+d_a^2}=3.606mm$"));
  27
  28 dot(SpeakerA);
  29 label("$S_a$", SpeakerA, W);
  30 dot(SpeakerB);
  31 label("$S_b$", SpeakerB, W);
  32 dot(Listener);
  33 label("Listener", Listener, E);
  34 dAB.draw();
  35 dAL.draw(rotateLabel=false);
  36 dBL.draw(rotateLabel=false);
  37 \end{asy}
  38 \end{center}
  39 \Part{a}
  40 From Table 13.1 we find that the speed of sound in air at $20\dg C$ is
  41 $v=343\U{m/s}$.  The wavelength of this sound is
  42 \begin{equation}
  43   \lambda = \frac{v}{f} = 1.143\U{m}
  44 \end{equation}
  45 The phase change from speaker $S_a$ is therefore
  46 \begin{equation}
  47   \theta_a = k d_a = \frac{2\pi d_a}{\lambda} = 16.49\U{rad} \;,
  48 \end{equation}
  49 and from speaker $S_b$ is
  50 \begin{equation}
  51   \theta_b = k d_b = \frac{2\pi d_b}{\lambda} = 19.81\U{rad} \;.
  52 \end{equation}
  53 The phase difference is
  54 \begin{equation}
  55   \Delta\theta = \theta_b - \theta_a = \ans{3.33\U{rad}}
  56 \end{equation}
  57
  58 \Part{b}
  59 For minimal sound, we want the phase difference to be exactly $\pi$
  60 (or some odd multiple of $\pi$).  We see that it's already close to
  61 $\pi$ with our initial frequency of $300\U{Hz}$, only a bit high.
  62 Decreasing the freqency a bit will reduce the rate of dephasing
  63 between the two waves, reducing $\Delta\theta$, so we're looking for a
  64 frequency slightly less than $300\U{Hz}$.
  65 \begin{align}
  66   \Delta\theta &= \theta_b-\theta_a
  67     = \frac{2\pi (d_b-d_a)}{\lambda}
  68     = \frac{2\pi f (d_b-d_a)}{v} \\
  69   f &= \frac{v\Delta\theta}{2\pi (d_b-d_a)}
  70     = \frac{v \pi}{2\pi (d_b-d_a)}
  71     = \frac{v}{2(d_b-d_a)}
  72     = \frac{343\U{m/s}}{2\cdot 0.606\U{m}} = \ans{283\U{Hz}} \;.
  73 \end{align}
  74 \end{solution}