latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem12.18.tex

   1 \begin{problem*}{12.18}
   2 A $2.00\U{kg}$ object is attached to a spring and placed on a
   3 horizontal, smooth surface.  A horizontal force of $20.0\U{N}$ is
   4 required to hold the object at rest when it is pulled $0.200\U{m}$
   5 from its equilibrium position (the origin of the $x$ axis).  The
   6 object is now released from rest with an initial position of
   7 $x_i=0.200\U{m}$, and it subsequently undergoes simple harmonic
   8 oscillations.  Find \Part{a} the force constant of the
   9 spring, \Part{b} the frequency of oscillations, and \Part{c} the
  10 maximum speed of the object.  Where does this maximum speed
  11 occur?  \Part{d} Find the maximum acceleration of the object.  Where
  12 does it occur?  \Part{e} Find the total energy of the oscillating
  13 system.  Find \Part{f} the speed and \Part{g} the acceleration of the
  14 object when its position is equal to one third of the maximum value.
  15 \end{problem*}
  16
  17 \begin{solution}
  18 \begin{center}
  19 \begin{asy}
  20 import Mechanics;
  21
  22 real u = 1cm;
  23 real a = u/2;
  24
  25 Surface surf = Surface(pFrom=(-.7u,-a/2), pTo=(2u,-a/2));
  26 Block b = Block(center=(0,0), width=a);
  27 Spring spring = Spring(pFrom=(b.center+(a/2,0)), pTo=(2u,0));
  28 Vector Fspring = Force(b.center, mag=2a, dir=0, L="$F_s$");
  29 Vector Fexternal = Force(b.center, mag=2a, dir=180, L="$F_e$");
  30
  31 Fspring.draw();
  32 Fexternal.draw();
  33 surf.draw();
  34 spring.draw();
  35 b.draw();
  36 \end{asy}
  37 \end{center}
  38 \Part{a}
  39 The external force $F_e$ must exactly balance the spring force $F_s$
  40 to hold the object at rest on a frictionless surface, so
  41 \begin{align}
  42   |F_s| &= k|x| = |F_e| \\
  43   k &= \p|{\frac{F_e}{x}}| = \ans{100\U{N/m}} \;.
  44 \end{align}
  45
  46 \Part{b}
  47 The frequency of oscillation is then
  48 \begin{equation}
  49   f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
  50     = \ans{1.13\U{Hz}} \;,
  51 \end{equation}
  52 and
  53 \begin{equation}
  54   \omega = 2 \pi f = 7.07\U{rad/s} \;.
  55 \end{equation}
  56
  57 \Part{c}
  58 The maximum speed of the object is (see 12.5)
  59 \begin{equation}
  60   v_\text{max} = \omega A = 7.07\U{rad/s} \cdot 0.200\U{m}
  61     = \ans{1.41\U{m/s}} \;,
  62 \end{equation}
  63 which occurs at $x=0$, when all the oscillation energy is kinetic.
  64
  65 \Part{d}
  66 The maximum acceleration of the object is (see 12.5)
  67 \begin{equation}
  68   a_\text{max} = \omega^2 A = (7.07\U{rad/s})^2 \cdot 0.200\U{m}
  69     = \ans{10\U{m/s$^2$}} \;,
  70 \end{equation}
  71 which occurs at $x=-A=-0.200\U{m}$.  If you are only interested in the
  72 peaks in the \emph{magnitude} of the acceleration, they occur for
  73 $x=\pm A$.
  74
  75 \Part{e}
  76 Lets find the energy in the initial situation, right after the object
  77 was released.  It's at rest, so its kinetic energy is $0$ and all the
  78 enegy is spring-potential energy
  79 \begin{equation}
  80   E = \frac{1}{2} k A^2 = \ans{2.00\U{J}}
  81 \end{equation}
  82
  83 \Part{f}
  84 Conserving energy
  85 \begin{align}
  86   E &= \frac{1}{2} k \p({\frac{A}{3}})^2 + \frac{1}{2} m v^2
  87      = \frac{E}{9} + \frac{1}{2} m v^2 \\
  88   v &= \pm\sqrt{\frac{2}{m} \cdot \frac{8}{9}E} = \ans{\pm1.33\U{m/s}} \;.
  89 \end{align}
  90
  91 \Part{g}
  92 This is very similar to Problem 12.15 \Part{c}.
  93 \begin{align}
  94   F &= ma = kx \\
  95   a &= \frac{k}{m}x = \pm \frac{kA}{3m} = \ans{\pm3.33\U{m/s$^2$}} \;.
  96 \end{align}
  97
  98 \end{solution}