latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem01.62.tex

   1 \begin{problem*}{1.62}
   2 In physics, it is important to use mathematical approximations.
   3 Demonstrate that for small angles ($< 20\dg$)
   4 \begin{equation}
   5  \tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha = \pi \alpha ' / 180\dg
   6 \end{equation}
   7 where $\alpha$ is in radians and $\alpha '$ is in degrees.
   8 Use a calculator to find the largest angle for which $\tan \alpha$ may
   9 be approximated by $\alpha$ with an error less than $10.0$\%.
  10 \end{problem*}
  11
  12 \begin{solution}
  13 To kill both birds with one stone,
  14  a table to show the approximations hold
  15   and show the \% error of the approximation:\\
  16 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
  17 \hline
  18 $\alpha '$&$\alpha$ [rad]&$\sin \alpha$&$\tan \alpha$&\% error\\
  19 \hline
  20  $0\dg$&0.000&0.000&0.000&$\emptyset$\\
  21  $5\dg$&0.087&0.087&0.087&$-0.25$\%\\
  22 $10\dg$&0.175&0.174&0.176&$-1.02$\%\\
  23 $15\dg$&0.262&0.259&0.268&$-2.30$\%\\
  24 $20\dg$&0.349&0.342&0.354&$-4.09$\%\\
  25 $31\dg$&0.541&0.515&0.601&$-9.95$\%\\
  26 $32\dg$&0.599&0.530&0.625&$-10.62$\%\\
  27 \hline
  28 \end{tabular}\\
  29 where the \% error is given by
  30 \begin{equation}
  31  \text{\% error} = \frac{\text{approx.} - \text{actual}}{\text{actual}}
  32         = \frac{\alpha - \tan \alpha}{\tan \alpha}.
  33 \end{equation}
  34
  35 So $31\dg$ is the largest whole-degree angle with $< 10$\% error.
  36 \end{solution}
  37