latex/problems/Giancoli_6/problem17.40.tex

   1 \begin{problem*}{17.40} % capacitor circuits
   2 A $C_1 = 7.7\U{$\mu$F}$ capacitor is charged by a $V = 125\U{V}$
   3 battery (Fig. 17-29a) and then is disconnected from the battery.  When
   4 this capacitor ($C_1$) is then connected (Fig. 17-29b) to a second
   5 (initially uncharged) capacitor, $C_2$, the final voltage on each
   6 capacitor is $V_2 = 15\U{V}$.  What is the value of $C_2$?
   7 [\emph{Hint:} charge is conserved.]
   8 \end{problem*}
   9
  10 \empaddtoprelude{
  11   input makecirc; % circuit drawing functions
  12   initlatex("");
  13   pair A, B, Cl, Cr, Dl, Dr, El, Er;
  14   numeric a;
  15   a := 3cm;
  16   A := (-3a/4,0);
  17   B := (3a/4, 0);
  18   def drawA =
  19     % add elements
  20     centreof.b(A+(1,0), A-(1,0), bat);
  21     battery.B(c.b, phi.b, "V", "");
  22     centreof.c(B.B.n, B.B.p, cap);
  23     capacitor.C(c.c+(0,a), normal, phi.c, "C_1", "");
  24     % add wiring along the bottom
  25     wire(B.B.n, A+(a/2,0), nsq);
  26     wire(B.B.p, A-(a/2,0), nsq);
  27     % add wiring along the sides and top
  28     wire(A+(a/2,0), C.C.l, udsq);
  29     wire(A-(a/2,0), C.C.r, udsq);
  30     puttext.bot("($a$)", A-(0,24pt));
  31     Cl = C.C.r;
  32     Cr = C.C.l;
  33   enddef;
  34   def drawB =
  35     % add elements
  36     centreof.d(B+(1,0), B-(1,0), cap);
  37     capacitor.D(c.d, normal, phi.d, "C_2", "");
  38     centreof.e(C.D.l, C.D.r, cap);
  39     capacitor.E(c.e+(0,a), normal, phi.e, "C_1", "");
  40     % add wiring along the bottom
  41     wire(C.D.l, B+(a/2,0), nsq);
  42     wire(C.D.r, B-(a/2,0), nsq);
  43     % add wiring along the sides and top
  44     wire(B+(a/2,0), C.E.l, udsq);
  45     wire(B-(a/2,0), C.E.r, udsq);
  46     puttext.bot("($b$)", B-(0,24pt));
  47     Dl = C.D.r;
  48     Dr = C.D.l;
  49     El = C.E.r;
  50     Er = C.E.l;
  51   enddef;
  52 }
  53
  54 \begin{nosolution}
  55 \begin{center}
  56 \begin{empfile}[5p]
  57 \begin{emp}(0cm, 0cm)
  58   drawA;
  59   drawB;
  60 \end{emp}
  61 \end{empfile}
  62 \end{center}
  63 \end{nosolution}
  64
  65 \begin{solution}
  66 \begin{center}
  67 \begin{empfile}[5]
  68 \begin{emp}(0cm, 0cm)
  69   drawA;
  70   drawB;
  71   puttext.ulft("$Q_{1a}$", Cl);
  72   puttext.urt("$-Q_{1a}$", Cr);
  73   puttext.ulft("$Q_{2b}$", Dl);
  74   puttext.urt("$-Q_{2b}$", Dr);
  75   puttext.ulft("$Q_{1b}$", El);
  76   puttext.urt("$-Q_{1b}$", Er);
  77   labeloffset := 9pt;
  78   puttext.top("$V$", (Cl+Cr)/2);
  79   puttext.top("$V_2$", (Dl+Dr)/2);
  80   puttext.top("$V_2$", (El+Er)/2);
  81 \end{emp}
  82 \end{empfile}
  83 \end{center}
  84
  85 Because the voltage drop across $C_1$ in situation $a$ is the same as
  86 the voltage drop across the battery ($V$), we have
  87 $$
  88   Q_{1a} = C_1 V
  89 $$
  90 When we connect $C_2$ in situation $b$, this charge redistributes
  91 between $C_1$ and $C_2$.  Because charge is conserved, we know
  92 $$
  93   Q_{1a} = Q_{1b} + Q_{2b}
  94 $$
  95 We also know that the voltage drop across both capacitors in situation
  96 $b$ must be equal ($\text{both} = V_2$), so
  97 \begin{align*}
  98   Q_{1b} &= C_1 V_2 \\
  99   Q_{2b} &= C_2 V_2
 100 \end{align*}
 101 Plugging each of these formulas for charge ($Q_{1a}$, $Q_{1b}$, and
 102 $Q_{2b}$) into the charge conservation formula yeilds
 103 \begin{align*}
 104   C_1 V &= C_1 V_2 + C_2 V_2 \\
 105   C_1 (V - V_2) &= C_2 V_2 \\
 106   V_2 C_2 &= C_1 (V - V_2) \\
 107   C_2 &= C_1 \p({\frac{V}{V_2} - \frac{V_2}{V_2}}) \\
 108   C_2 &= C_1 \p({\frac{V}{V_2} - 1}) \\
 109   C_2 &= 7.7\U{$\mu$F} \cdot \p({\frac{125\U{V}}{15\U{V}} - 1})
 110        = \ans{56\U{$\mu$F}}
 111 \end{align*}
 112
 113 \end{solution}