posts/Pulse_oxymetry.mdwn_itex

   1 My wife was recently reviewing some [pulse oxymeter][pox] notes while
   2 working a round of anesthesia.  It took us a while to trace the logic
   3 through all the symbol changes and notation shifts, and my wife's
   4 math-discomfort and my bio-discomfort made us more cautious than it
   5 turns out we needed to be.  There are a number of nice [review
   6 articles][art] out there that I turned up while looking for explicit
   7 derivations, but by the time I'd found them, my working notes had
   8 gotten fairly well polished themselves.  So here's my contribution to
   9 the pulse-ox noise ;).  Highlights include:
  10
  11 * Short and sweet (with pictures)
  12 * [Symbols table](#nomenclature)
  13 * Baby steps during math manipulation
  14
  15 Oxygen content
  16 ==============
  17
  18 The circulatory system distributes oxygen ([O₂](#O2)) throughout the
  19 body.  The amount of O₂ at any given point is measured by the O₂
  20 content ([O₂]), usually given in $\frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{dL
  21 blood}}$ ([BTP](#BTP) is my acronym for body temperature and
  22 pressure).  Most transported O₂ is bound to [hemoglobin][]
  23 ([Hb](#Hb)), but there is also free O₂ disolved directly in the plasma
  24 and cytoplasm of suspended cells.
  25
  26 <a id="eq:O2-symbolic"></a>
  27
  28
  29 \[ [\text{O₂}] = a\text{[Hb]}\text{S}_\text{O₂} + b\text{P}_\text{O₂} \;, \]
  30
  31 where [$\text{S}_\text{O₂}$](#S-O2) is the Hb's O₂ saturation and
  32 [$\text{P}_\text{O₂}$](#P-O2) is the O₂ partial pressure.  Don't worry
  33 about the coefficients $a$ and $b$ yet, we'll get back to them in a
  34 second.
  35
  36 The amound of dissolved O₂ is given by its [partial pressure][partial]
  37 ($\text{P}_\text{O₂}$).  Partial pressures are generally given in mm
  38 of mercury ([Hg](#Hg)) at standard temperature and pressure
  39 ([STP](#STP)).  Because the partial pressure changes as blood flows
  40 through the body, an additional specifier $i$ may be added
  41 ([$\text{P}i_\text{O₂}$](#Pi-O2)) to clarify the measurement location.
  42
  43 <table id="locations" class="center">
  44   <tr><th>$i$</th><th>Full symbol</th><th>Location descriptor</th></tr>
  45   <tr><td>a</td><td style="text-align: center">$\text{Pa}_\text{O₂}$</td>
  46     <td>arterial</td></tr>
  47   <tr><td>p</td><td style="text-align: center">$\text{Pp}_\text{O₂}$</td>
  48     <td>peripheral or pulsatile</td></tr>
  49   <tr><td>t</td><td style="text-align: center">$\text{Pt}_\text{O₂}$</td>
  50     <td>tissue</td></tr>
  51   <tr><td>v</td><td style="text-align: center">$\text{Pv}_\text{O₂}$</td>
  52     <td>venous</td></tr>
  53 </table>
  54
  55 O₂ is carried in the blood primarily through binding to hemoglobin
  56 monomers (Hb), with each monomer potentially binding a single O₂.
  57 Oxygen saturation ($\text{S}_\text{O₂}$) is the fraction of hemoglobin
  58 monomers (Hb) that have bound an oxygen molecule (O₂).
  59
  60 <a id="eq:S-O2"></a>
  61
  62 \[ \text{S}_\text{O₂} = \frac{\text{[HbO₂]}}{\text{[Hb]}} \;. \]
  63
  64 The ratio of concentrations, $\text{S}_\text{O₂}$, is unitless.  It
  65 is often expressed as a percentage.  [Hb] is often given in g/dL.  As
  66 with partial pressures, an additional specifier $i$ may be added
  67 ([$\text{S}i_\text{O₂}$](#Si-O2)) to clarify the measurement location
  68 ($\text{Sa}_\text{O₂}$, $\text{Sp}_\text{O₂}$, …).
  69
  70 Now we can take a second look at our [O₂ content
  71 formula](#eq:O2-symbolic).  The coefficient $a$ must convert g/dL
  72 to $\frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{dL blood}}$.  Using the molecular
  73 weight of Hb and the [volume of a mole of gas at STP][mole-volume]:
  74
  75 <a id="eq:a"></a>
  76
  77 \[
  78 \begin{aligned}
  79   \text{[Hb]} &= \chi \frac{\text{g Hb}}{\text{dL blood}}
  80       \cdot\frac{1\text{ mol Hb}}{17\text{ kg Hb}}
  81       \cdot\frac{1\text{ mol O₂}}{1\text{ mol Hb}}
  82       \cdot\frac{\sim1\text{ mol ideal gas}}{1\text{ mol O₂}}
  83       \cdot\frac{22.4\text{ L ideal gas at STP}}{1\text{ mol ideal gas}}
  84       \cdot\frac{\sim1\text{ L ideal gas at BTP}}{1\text{ L ideal gas at STP}}
  85       \\
  86     &\approx
  87        \chi \frac{\text{g Hb}}{\text{dL blood}}
  88        \cdot 1.32 \frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{g Hb}}
  89     = 1.32\chi \frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{dL blood}} \;,
  90 \end{aligned}
  91 \]
  92
  93 where $\chi$ is a pure number (we're just working out the unit
  94 conversion here, not converting a particular Hg concentration).
  95 Therefore, $a=1.32 \frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{g Hb}}$.  The
  96 powers that be seem to have used a slightly different density, since
  97 the more commonly used value is 5% higher at $1.39$.  Possibly someone
  98 actually measured the density of O₂ at BTP, because BTP is not STP,
  99 and O₂ is not an ideal gas.
 100
 101 The coefficient $b$ must convert mm Hg at STP
 102 to $\frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{dL blood}}$.  Empirical
 103 experiments (?) give a value
 104 of $b=0.003\frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{dL blood ⋅ mm Hg at STP}}$.
 105 Now we can write out the familiar form
 106
 107 <a id="eq:O2"></a>
 108
 109 \[ \text{[O₂]}
 110      = 1.39 \frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{g Hb}} [Hb] \text{S}_\text{O₂}
 111      + 0.003\frac{\text{mL O₂ at BTP}}
 112                  {\text{dL blood } \cdot \text{ mm Hg at STP}}
 113                                                         \text{P}_\text{O₂}  \;. \]
 114
 115 Reasonable levels are
 116
 117 <table class="center" style="border-spacing: 40px 0px">
 118   <tr><td>[Hb]</td><td>$14\frac{\text{g Hb}}{\text{dL blood}}$</td></tr>
 119   <tr><td>$\text{S}_\text{O₂}$</td><td>98%</td></tr>
 120   <tr><td>$\text{P}_\text{O₂}$</td><td>100 mm Hg at STP</td></tr>
 121   <tr><td>$1.39 \frac{\text{mL O₂}}{\text{g Hb}}\text{[Hb]}\text{S}_\text{O₂}$     </td><td>$19.1\frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{dL blood}}$</td></tr>
 122   <tr><td style="white-space: nowrap">$0.003\frac{\text{mL O₂ at BTP}}
 123     {\text{dL blood } \cdot \text{ mm Hg at STP}}\text{P}_\text{O₂}$</td><td>
 124     $0.300\frac{\text{mL O₂ at BTP}}{\text{dL blood}}$</td></tr>
 125 </table>
 126
 127 Because the dissolved O₂ has such a tiny contribution (1.5% of the
 128 total in my example), it is often measured at STP rather than BTP.
 129 Sometimes it is dropped from the calculation entirely.  We focus on
 130 the more imporant $\text{[Hb]}\text{S}_\text{O₂}$ in the next section.
 131
 132 Oxygen saturation
 133 =================
 134
 135 The [preceding](#eq:S-O2) [discussion](#eq:O2)
 136 used $\text{[Hb]}\text{S}_\text{O₂}$ to represent the concentration of
 137 HbO₂ complexes.  This was useful while we were getting our bearings,
 138 but now we will replace that term with a more detailed model.  Let us
 139 sort the Hb monomers into species:
 140
 141 * [Hb](#Hb): all hemoglobin monomers
 142 * [HbO₂](#HHb): monomers complexed with O₂
 143 * [HHb](#HHb): reduced Hb (not complexed with O₂)
 144 * [dysHb](#dysHb): dys-hemoglobin (cannot complex with O₂)
 145 * [MHb](#MHb): methemoglobin
 146 * [HbCO](#HbCO): carboxyhemoglobin
 147
 148 These species are related as follows
 149
 150 \[
 151 \begin{aligned}
 152   \text{[Hb]} &= \text{[HbO₂]} + \text{[HHb]} + \text{[dysHb]} \\
 153   \text{[dysHb]} &= \text{[MHb]} + \text{[HbCO]} + \text{other broken forms}
 154 \end{aligned}
 155 \]
 156
 157 Because modern two-color pulse-oximeters don't
 158 measure $\text{S}_\text{O₂}$ exactly, the related quantity that they
 159 *do* measure has been given a name of its own: the *functional*
 160 saturation ([$\text{Sf}_\text{O₂}$](#Sf-O2)).
 161
 162 <a id="eq:Sfunc-O2"></a>
 163
 164 \[
 165  \text{Sf}_\text{O₂} = \frac{\text{[HbO₂]}}{\text{[HbO₂]} + \text{[HHb]}} \;.
 166 \]
 167
 168 Rephrasing our [earlier saturation](#eq:S-O2), we see
 169
 170 <a id="eq:Sfrac-O2"></a>
 171
 172 \[
 173   \text{S}_\text{O₂} = \frac{\text{[HbO₂]}}{\text{[Hb]}}
 174     = \frac{\text{[HbO₂]}}{\text{[HbO₂]} + \text{[HHb]} + \text{[dysHb]}} \;.
 175 \]
 176
 177 To avoid confusion with $\text{Sf}_\text{O₂}$, our
 178 original $\text{S}_\text{O₂}$ is sometimes referred to as the
 179 *fractional* saturation.
 180
 181 The Beer-Labmert law
 182 ====================
 183
 184 So far we've been labeling and defining attributes of the blood.  The
 185 point of this excercise is to understand how a pulse oximeter measures
 186 them.  People have known for a while that different hemoglobin
 187 complexes (HbO₂, HHb, MHb, HbCO, …) have differnt absorbtion spectra,
 188 and they have been using this difference since the 1930's to make
 189 pulse-oximeters based on two-color transmittance measurements (see
 190 [Tremper 1989][T89]).
 191
 192 [[!img absorbtion.png
 193  size="600x418"
 194  alt="Absorbance spectra for assorted hemoglobin species"
 195  caption="Absorbance spectra for assorted hemoglobin species (Tremper 1989)"]]
 196
 197 By passing different wavelengths of light through perfused tissue, we
 198 can measure the relative quantities of the different Hb species.
 199 The basis for this analysis comes from the [Beer-Lambert law][BL].
 200
 201 <a id="eq:BL"></a>
 202
 203 \[ I = I_0 e^{-c \epsilon L}  \;, \]
 204
 205 where [$I_0$](#I0) is the incident intensity (entering the tissue),
 206 [$I$](#I0lambda) is the tranmitted intensity (leaving the tissue),
 207 [$c$](#c) is the tissue density (concentration),
 208 [$\epsilon$](#eilambda) is the extinction coefficient (molar
 209 absorbtivity), and [$L$](#L) is the tissue thickness.  Rephrasing the
 210 math as English, this means that the intensity drops off exponentially
 211 as you pass through the tissue, and more tissue (higher $c$ or $L$) or
 212 more opaque tissue (higher $\epsilon$) mean you'll get less light out
 213 the far side.  This is a very simple law, and the price of the
 214 simplicity is that it brushes all sorts of things under the rug.
 215 Still, it will help give us a basic idea of what is going on in a
 216 pulse-oximeter.
 217
 218 Rather than treat the the tissue as a single substance, lets use the
 219 Beer-Labmert law on a mixture of substances with
 220 concentrations $c_1$, $c_2$, … and extinction
 221 coefficients $\epsilon_1$, $\epsilon_2$, ….
 222
 223 \[ I = I_0 e^{-(c_1 \epsilon_1 + c_2 \epsilon_2 + \ldots) L} \;. \]
 224
 225 We also notice that the intensities and extinction coefficients may
 226 all depend on the wavelength of light $\lambda$, so we should really
 227 write
 228
 229 <a id="eq:BL-lambda"></a>
 230
 231 \[
 232   I_\lambda = I_{0\lambda} e^{-(c_1 \epsilon_{1\lambda}
 233                                 + c_2 \epsilon_{2\lambda} + \ldots) L} \;.
 234 \]
 235
 236 Once isolated, a simple spectroscopy experiment can measure the
 237 extinction coefficient [$\epsilon_{i\lambda}$](#eilambda) of a given
 238 species across a range of $\lambda$, and this has been done for all of
 239 our common Hb flavors.  We need to play with the last equation to find
 240 a way to extract the unknown concentrations, which we can then use to
 241 [calculate the $\text{Sf}_\text{O₂}$](#eq:Sfunc-O2) and
 242 [$\text{S}_\text{O₂}$](#eq:Sfrac-O2) which we can use in turn to
 243 calculate [$\text{[O₂]}$](#eq:O2).
 244
 245 Note that by increasing the number of [LEDs](#LED) (adding
 246 new $\lambda$) we increase the number of constraints on the
 247 unknown $c_i$.  A traditional pulse-oximeter uses two LEDs, at 660 nm
 248 and 940 nm, to measure $\text{Sf}_\text{O₂}$ (related to [HbO₂] and
 249 [HHb]).  More recent designs called [pulse CO-oximeters][CO-ox] use
 250 more wavelengths to allow measurement of quanties related to
 251 additional species (approaching the end goal of
 252 measuring $\text{S}_\text{O₂}$).
 253
 254 Let us deal with the fact that there is a lot of stuff absorbing light
 255 that is not arterial blood (e.g. venous blood, other tissue, bone,
 256 etc).  The good thing about this stuff is that it's just sitting there
 257 or moving through in a smooth fasion.  Arterial blood is the only
 258 thing that's pulsing.  Here's another figure from [Tremper][T89]:
 259
 260 <a id="fig:ac-dc"></a>
 261
 262 [[!img ac-dc.png
 263  size="600x204"
 264  alt="AC and DC transmission components"
 265  caption="AC and DC transmission components (Tremper)"]]
 266
 267 During a pulse, the pressure in the finger increases and non-arterial
 268 tissue is compressed, changing $L$ and $c_i$ from their trough values
 269 to peak values $L'$ and $c_i'$.  Since the finger is big, the
 270 fractional change in width $\mathrm{d} L/L=(L'-L)/L$ is very small.
 271 Assuming the change in concentration is even smaller (since most
 272 liquids are fairly incompressible), we have
 273
 274 <a id="eq:dI-I-naive"></a>
 275
 276 \[
 277 \begin{aligned}
 278   \frac{\mathrm{d} I_\lambda}{\mathrm{d} L}
 279     &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}L}
 280       \left(I_{0\lambda}
 281              e^{-(c_1 \epsilon_{1\lambda}
 282                   + c_2 \epsilon_{2\lambda} + \ldots) L}\right)
 283     = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} L} \left( I_{0\lambda} e^{-X L} \right)
 284     = -X I_{0\lambda} e^{-X L}
 285     = -XI_\lambda \\
 286   \frac{\mathrm{d} I_\lambda}{I_\lambda}
 287     &= -X \mathrm{d} L  \;,
 288 \end{aligned}
 289 \]
 290
 291 where $X=c_1 \epsilon_{1\lambda} + c_2 \epsilon_{2\labmda} + \ldots$
 292 is just a placeholder to reduce clutter.  $\mathrm{d} I_\lambda$ is
 293 the AC amplitude (height of wiggle top of the detected light intensity
 294 due to pulsatile arterial blood), while $I_\lambda$ is the DC ampltude
 295 (height of the static base of the detected light intensity due to
 296 everything else).  This is actually a fairly sneaky step, because if
 297 we can also use it to drop the DC compents.  Because we've assumed
 298 fixed concentrations (incompressible fluids), and there is no more DC
 299 material coming in during a pulse (by definition), the effective $L$
 300 for the DC components does not change.  Separating the DC and AC
 301 components and running through the derivative again, we have
 302
 303 <a id="eq:dI-I"></a>
 304
 305 \[
 306 \begin{aligned}
 307   \frac{\mathrm{d} I_\lambda}{\mathrm{d} L}
 308     &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} L} \left(
 309          I_{0\lambda}
 310          e^{-(c_{\text{DC}1}\epsilon_{\text{DC}1\lambda}
 311               +c_{\text{DC}2}\epsilon_{\text{DC}2\lambda} + \ldots)
 312              L_\text{DC}
 313             -(c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1\lambda}
 314               +c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2\lambda} + \ldots)
 315              L_\text{AC}}
 316        \right) \\
 317     &= I_{0\lambda}
 318        e^{-(c_{\text{DC}1}\epsilon_{\text{DC}1\lambda}
 319             +c_{\text{DC}2}\epsilon_{\text{DC}2\lambda} + \ldots)
 320            L_\text{DC}}
 321        \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} L} \left(
 322          e^{-(c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1\lambda}
 323               +c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2\lambda} + \ldots)
 324              L_\text{AC}}
 325        \right) \\
 326     &= I_{0\lambda} Y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} L} \left(
 327          e^{-Z L_\text{AC}} \right)
 328     = -Z I_{0\lambda} Y e^{-Z L_\text{AC}}
 329     = -Z I_\lambda \\
 330   \frac{\mathrm{d} I_\lambda}{I_\lambda} &= -Z \mathrm{d} L \;,
 331 \end{aligned}
 332 \]
 333
 334 where $Y=e^{-(c_{\text{DC}1}\epsilon_{\text{DC}1\lambda}
 335             +c_{\text{DC}2}\epsilon_{\text{DC}2\lambda} + \ldots)
 336            L_\text{DC}}$
 337 and $Z=c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1\lambda}
 338       +c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2\lambda} + \ldots)$
 339 are just placeholders to reduce clutter.  Note that the [last
 340 equation](#eq:dI-I) looks just like the [previous one](#eq:dI-I-naive)
 341 with the translation $X\rightarrow Z$.  This means that if we stick to
 342 using the AC-DC intensity ratio ($\frac{\mathrm{d} \Il}{\Il}$) we can
 343 forget about the DC contribution completely.
 344
 345 If the changing-$L$-but-static-$L_\text{DC}$ thing bothers you, you
 346 can imagine insteadthat $L_\text{DC}$ grows with $L$,
 347 but $c_{\text{DC}i}$ shrinks proportially (to conserve mass).  With
 348 this proportionate stretching, there is still no change in absorbtion
 349 for that component
 350 so $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}L}\exp(-c_{\text{DC}i}\epsilon_{\text{DC}i\lambda}L)=0$
 351 and we can still pull the DC terms out of the integral as we
 352 [just did](#eq:dI-I).
 353
 354 Taking a ratio of these amplitudes at two different wavelengths, we
 355 get optical density ratio ([R](#R))
 356
 357 <a id="eq:R-Z"></a>
 358
 359 \[
 360   R = \frac{\frac{\text{AC}_{660}}{\text{DC}_{660}}}
 361            {\frac{\text{AC}_{940}}{\text{DC}_{940}}}
 362     = \frac{\frac{\mathrm{d} I_{660}}{I_{660}}}
 363            {\frac{\mathrm{d} I_{940}}{I_{940}}}
 364     = \frac{-Z_{660} \mathrm{d} L}{-Z_{940} \mathrm{d} L}
 365     = \frac{Z_{660}}{Z_{940}}  \;,
 366 \]
 367
 368 because $\mathrm{d} L$ (the amount of finger expansion during a pulse)
 369 obviously doesn't depend on the color light you are using.  Plugging
 370 back in for $Z$,
 371
 372 <a id="R-ce"></a>
 373
 374 \[
 375   R = \frac{c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1,660}
 376             + c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2,660} + \ldots}
 377            {c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1,940}
 378             + c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2,940} + \ldots}
 379 \]
 380
 381 Assuming, for now, that there are only two species of Hb—HbO₂ and
 382 HHb—we can solve for $c_{\text{AC}1}/c_{\text{AC}2}$.
 383
 384 \[
 385 \begin{aligned}
 386   R &= \frac{c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1,660}
 387              + c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2,660}}
 388             {c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1,940}
 389              + c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2,940}} \\
 390   R(c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1,940}
 391     + c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2,940})
 392     &= c_{\text{AC}1}\epsilon_{\text{AC}1,660}
 393        + c_{\text{AC}2}\epsilon_{\text{AC}2,660} \\
 394   c_{\text{AC}1} (R\epsilon_{\text{AC}1,940} - \epsilon_{\text{AC}1,660})
 395     &= c_{\text{AC}2} (\epsilon_{\text{AC}2,660} - R\epsilon_{\text{AC}2,940})
 396        \\
 397   \frac{c_{\text{AC}1}}{c_{\text{AC}2}}
 398     &= \frac{\epsilon_{\text{AC}2,660} - R\epsilon_{\text{AC}2,940}}
 399             {R\epsilon_{\text{AC}1,940} - \epsilon_{\text{AC}1,660}}
 400     \;.
 401 \end{aligned}
 402 \]
 403
 404 So now we know [HbO₂]/[HHb] in terms of the measured quantity $R$ and
 405 the empirical values $\epsilon$.
 406
 407 Plugging in to our [equation for $\text{Sf}_\text{O₂}$](#eq:Sfunc-O2)
 408 to find the functional saturation:
 409
 410 <a id="eq:Sfunc-O2-R"></a>
 411
 412 \[
 413 \begin{aligned}
 414   \text{Sf}_\text{O₂} &= \frac{\text{[HbO₂]}}{\text{[HbO₂]} + \text{[HHb]}}
 415     = \frac{1}{1 + \frac{\text{[HHb]}}{\text{[HbO₂]}}}
 416     = \frac{1}{1 + \frac{c_{\text{AC}2}}{c_{\text{AC}1}}}
 417     = \frac{1}
 418            {1 + \frac{R\epsilon_{\text{AC}1,940} - \epsilon_{\text{AC}1,660}}
 419                      {\epsilon_{\text{AC}2,660} - R\epsilon_{\text{AC}2,940}}}
 420     \;.
 421 \end{aligned}
 422 \]
 423
 424 As a check, we can rephrase this as
 425
 426 \[
 427 \begin{aligned}
 428   \text{Sf}_\text{O₂}
 429     &= \frac{1}
 430             {1 + \frac{R\epsilon_{\text{AC}1,940} - \epsilon_{\text{AC}1,660}}
 431                       {\epsilon_{\text{AC}2,660} - R\epsilon_{\text{AC}2,940}}}
 432     = \frac{\epsilon_{\text{AC}2,660} - R\epsilon_{\text{AC}2,940}}
 433            {\epsilon_{\text{AC}2,660} - R\epsilon_{\text{AC}2,940}
 434             + R\epsilon_{\text{AC}1,940} - \epsilon_{\text{AC}1,660}} \\
 435     &= \frac{\epsilon_{\text{AC}2,660} - R\epsilon_{\text{AC}2,940}}
 436             {\epsilon_{\text{AC}2,660} - \epsilon_{\text{AC}1,660}
 437              + (\epsilon_{\text{AC}1,940} - \epsilon_{\text{AC}2,940})R}
 438     = \frac{-\epsilon_{\text{AC}2,660} + \epsilon_{\text{AC}2,940}R}
 439            {\epsilon_{\text{AC}1,660} - \epsilon_{\text{AC}2,660}
 440             + (\epsilon_{\text{AC}2,940} - \epsilon_{\text{AC}1,940})R}
 441     \;,
 442 \end{aligned}
 443 \]
 444
 445 which matches [Mendelson 1989][M89], Eq. 8 with the translations:
 446
 447 * $\text{Sf}_\text{O₂}\rightarrow Sp\text{O₂}$,
 448 * $R\rightarrow R/IR$,
 449 * $\epsilon_{\text{AC}2,660}\rightarrow\epsilon_R(\text{Hb})$,
 450 * $\epsilon_{\text{AC}2,940}\rightarrow\epsilon_IR(\text{Hb})$,
 451 * $\epsilon_{\text{AC}1,660}\rightarrow\epsilon_R(\text{HbO₂})$, and
 452 * $\epsilon_{\text{AC}1,940}\rightarrow\epsilon_IR(\text{HbO₂})$.
 453
 454 And that is the first-order explaination of how a pulse-oximeter
 455 measures the functional saturation!
 456
 457 Reading extinction coefficients off the [absorbtion
 458 figure](#fig:absorbtion), I get
 459
 460 \[
 461 \begin{aligned}
 462   \epsilon_{\text{HbO₂},660} &= \epsilon_{\text{AC}1,660} = 0.10 \\
 463   \epsilon_{\text{HHb},660} &= \epsilon_{\text{AC}2,660} = 0.83 \\
 464   \epsilon_{\text{HbO₂},940} &= \epsilon_{\text{AC}1,940} = 0.29 \\
 465   \epsilon_{\text{HHb},940} &= \epsilon_{\text{AC}2,940} = 0.17
 466 \end{aligned}
 467 \]
 468
 469 which are comfortingly close to those given by [Mendelson][M89] in
 470 Table 1.  The corresponding $\text{Sf}_\text{O₂}(R)$ plot (from
 471 [Tremper][T89]) is:
 472
 473 [[!img SPO2vR.png
 474  size="400x330"
 475  alt="Experimental SpO₂ vs. R"
 476  caption="Experimental SpO₂ vs. R (Tremper)"]]
 477
 478 [[!img SfO2vR-theory.png
 479  size="300x300"
 480  alt="Theoretical SfO₂ vs. R"
 481  caption="Theoretical SfO₂ vs. R."]]
 482
 483 The theoretical plot was calculated using [[SfO2vR-theory.py]] and
 484 [our $\text{Sf}_\text{O₂}$ equation](#eq:Sfunc-O2-R).  This is why
 485 it’s a good idea to use an empirical calibration curve!  The concave
 486 theoretical curve is supported by [Mendelson's figure 4][M89].
 487
 488 <!-- because LEDs are finicky, it's hard to know how bright they are
 489 without looking ;).  Therefore, we'd like to work $I_{0\lambda}$ out
 490 of the picture.  As blood pulses through the finger, imagine that the
 491 concentrations -->
 492
 493 <a id="nomenclature"></a>
 494
 495 Nomenclature
 496 ============
 497
 498 <dl>
 499   <dt id="O2">O₂</dt><dd>Molecular oxygen</dd>
 500   <dt id="[x]">[$x$]</dt><dd>Concentration of $x$ in the blood</dd>
 501   <dt id="BTP">BTP</dt><dd>Body temperature and pressure</dd>
 502         <dt id="STP">STP</dt>
 503     <dd><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_conditions_for_temperature_and_pressure">
 504       Standard temperature and pressure</a></dd>
 505         <dt id="P-O2">$\text{P}_\text{O₂}$</dt><dd>O₂ partial pressure</dd>
 506         <dt id="Pi-O2">$\text{P}i_\text{O₂}$</dt>
 507     <dd>O₂ partial pressure at <a href="#locations">location $i$</a></dd>
 508         <dt id="S-O2">$\text{S}_\text{O₂}$</dt>
 509     <dd><a href="#eq:Sfrac-O2">Fractional O₂ saturation</a></dd>
 510         <dt id="Si-O2">$\text{S}i_\text{O₂}$</dt>
 511     <dd>O₂ fractional saturation at <a href="#locations">location $i$</a></dd>
 512         <dt id="Sf-O2">$\text{Sf}_\text{O₂}$</dt>
 513     <dd><a href="#eq:Sfunc-O2">Functional O₂ saturation</a></dd>
 514   <dt id="Hg">Hg</dt><dd>Mercury</dd>
 515   <dt id="Hb">Hb</dt><dd>Hemoglobin monomer</dd>
 516         <dt id="HbO2">HbO₂</dt><dd>Hemoglobin monomers complexed with O₂</dd>
 517   <dt id="HHb">HHb</dt><dd>Reduced hemoglobin (not complexed with O₂)</dd>
 518   <dt id="dysHb">dysHb</dt><dd>Dys-hemoglobin (cannot complex with O₂)</dd>
 519   <dt id="MHb">MHb</dt>
 520     <dd><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Methemoglobin">
 521       Methemoglobin</a></dd>
 522   <dt id="HbCO">HbCO</dt>
 523     <dd><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Carboxyhemoglobin">
 524       Carboxyhemoglobin</a></dd>
 525   <dt id="I0lambda">$I_{0\lambda}$</dt>
 526     <dd>Intensity of incident light at wavelength $\lambda$</dd>
 527   <dt id="Ilambda">$I_\lambda$</dt>
 528     <dd>Intensity of transmitted light at wavelength $\lambda$</dd>
 529   <dt id="ci">$c_i$</dt>
 530     <dd>Concentration of light-absorbing species $i$</dd>
 531   <dt id="cDCi">$c_{\text{DC}i}$</dt>
 532     <dd>Concentration of the $i$th DC species at wavelength $\lambda$</dd>
 533   <dt id="cACi">$c_{\text{AC}i}$</dt>
 534     <dd>Concentration of the $i$th AC species at wavelength $\lambda$</dd>
 535   <dt id="eilambda">$\epsilon_{i\lambda}$</dt>
 536     <dd>Extinction coefficient of species $i$ at wavelength $\lambda$</dd>
 537   <dt id="eDCilambda">$\epsilon_{\text{DC}i\lambda}$</dt>
 538     <dd>Extinction coefficient of the $i$th DC species
 539       wavelength $\lambda$</dd>
 540   <dt id="eACilambda">$\epsilon_{\text{DC}i\lambda}$</dt>
 541     <dd>Extinction coefficient of the $i$th DC species
 542       wavelength $\lambda$</dd>
 543   <dt id="L">$L$</dt><dd>Length of tissue through which light must pass</dd>
 544   <dt id="LDC">$L_\text{DC}$</dt><dd>Diastolic finger width</dd>
 545   <dt id="R">$R$</dt><dd>Optical density ratio</dd>
 546   <dt id="LED">LED</dt><dd>Light emitting diode</dd>
 547 </dl>
 548
 549
 550 [pox]: http://en.wikipedia.org/wiki/Pulse_oximeter
 551 [art]: http://journals.lww.com/anesthesiology/Citation/1989/01000/Pulse_Oximetry.19.aspx
 552 [hemoglobin]: http://en.wikipedia.org/wiki/Hemoglobin
 553 [partial]: http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_pressure
 554 [mole-volume]: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/idegas.html
 555 [T89]: http://journals.lww.com/anesthesiology/Citation/1989/01000/Pulse_Oximetry.19.aspx
 556 [BL]: http://en.wikipedia.org/wiki/Beer\%E2\%80\%93Lambert_law
 557 [CO-ox]: http://en.wikipedia.org/wiki/Co-oximeter
 558 [M89]: http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=30810
 559
 560 [[!tag tags/theory]]